L'utilizzo delle potenze in algebra è molto diffuso. In questa pagina cercheremo di conoscere e capire la loro proprietà fondamentali.
Parliamo di potenze quando abbiamo a che fare con moltiplicazioni di fattori uguali tra loro. Un ottimo modo per semplificare: ad esempio, invece di scrivere 4x4x4x4x4 (moltiplicazione tra 5 fattori uguali), potremmo scrivere questa operazione in altro modo, ossia con 4 elevato alla quinta (4⁵).
Nelle potenze abbiamo una base (numero reale, quindi anche negativo) e un esponente (n, un numero intero). Il risultato si ottiene moltiplicando la base per se stessa, tante volte quante quelle indicate dall'esponente.
Dopo questa breve parentesi (per approfondire, o ripassare l'argomento, leggi "Potenze, cosa sono e come si calcolano") passiamo alle cinque regole.
Le cinque proprietà fondamentali delle potenze
Come anticipato più volte sono cinque le regole principali che caratterizzano le potenze. Elenchiamole di seguito, cercando di spiegarle una per una con qualche esempio, degli esercizi svolti.
Sommario
- La potenza di un prodotto
- Potenza di un quoto (o quoziente)
- Prodotto di potenze con base uguale
- Potenza di una potenza
- Quoto di due potenze con base uguale
1) La potenza di un prodotto è uguale al prodotto delle potenze dei suoi fattori
In generale: (a·b·c)ⁿ = aⁿ·bⁿ·cⁿ
dove a,b e c sono le basi e "ⁿ" l'esponente.
Cosa significa?
Questa proprietà ci insegna che se ho una moltiplicazione tra più fattori diversi tra loro, elevati ad una potenza ⁿ, posso portare l'esponente su ogni fattore e moltiplicare tra loro le potenze.
Se non è ancora chiaro, lo sarà sicuramente facendo qualche esercizio numerico.
- Primo esercizio
(2·3·5)² = 2²·3²·5²
infatti, nel primo caso (a sinistra dell'uguale) avremo 2·3·5 = 30, quindi 30² = 30·30 = 900
mentre a destra avremo 2²·3²·5² = 4·9·25 = 36·25 = 900
900 = 900
Perciò, l'uguaglianza di partenza è corretta. La proprietà è stata provata. - Secondo esercizio
(4·1·5)⁴ = 4⁴·1⁴·5⁴
risolvendo a sinistra e a destra, avremo:
a sinistra: (4·1·5)⁴ = (20)⁴ = 160.000
a destra: 4⁴·1⁴·5⁴ = 256·1·625 = 160.000
Perfetto!
2) La potenza di un quoto (o quoziente) è uguale al quoto (o quoziente) delle potenze del dividendo e del divisore.
Premessa (differenza tra "quoto e "quoziente")
Quando si fanno le divisioni il risultato si chiama "quoto" quando è intero e senza resto, o senza decimali; quando invece il risultato che si ottiene prevede un resto o un numero decimale allora si parla di "quoziente".
Ad esempio, 15 diviso 5 dà 3 come risultato, senza resto o decimali. Il "3" viene detto "quoto".
Diversamente, 16 diviso 5 dà "3 con il resto di 1", oppure, in decimali, "3,2". In questo caso abbiamo un "quoziente".
Chiusa la premessa, passiamo alla regola.
In generale: (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ
Cosa significa?
Abbiamo che ("a" fratto "b") elevato a "n" è uguale a ("a" elevato a "n") fratto ("b" elevato a "n").
Anche qui, come per la prima proprietà, abbiamo distribuito l'esponente togliendo la parentesi (si parla infatti di proprietà distributiva nelle due prime regole).
Una divisione (o frazione) elevata alla potenza è dunque uguale alla divisione tra le potenze della frazione (dividendo e divisore).
Proviamo con due esempi.
- Primo esercizio
(4/2)³ = 4³/2³
a sinistra: (4/2)³ = (2)³ = 8
a destra: 4³/2³ = 64/8 = 8 - Secondo esercizio
(11/4)⁴ = 11⁴/4⁴
a sinistra: (11/4)⁴ = (2,75)⁴ = 57, 19
a destra: 11⁴/4⁴ = 14.641/256 = 57,19
Dalle prime due regole abbiamo imparato che, per le moltiplicazioni e le divisioni, entra in gioco la proprietà distributiva. Non sarà così, come vedremo, per addizioni e sottrazioni.
3) Il prodotto di potenze con base uguale, è una potenza avente la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.
In generale, aⁿ·aᵐ·aᵖ = a⁽ⁿ ⁺ ᵐ ⁺ ᵖ⁾
dove "a" elevato a "n" per "a" elevato a "m" per "a" elevato a "p" risulta uguale a "a" elevato a "(n + m + p)".
Cosa significa?
Quando siamo di fronte alla moltiplicazione di più potenze con la stessa base ed esponente diverso, possiamo tranquillamente riscrivere l'operazione utilizzando una sola volta la base ("a") e inserendo come esponente di tale base la somma degli esponenti.
Come al solito sarà più facile con qualche esercizio.
- Primo esercizio
2³·2⁴·2² = 2⁽³⁺⁴⁺²⁾
a sinistra: 2³·2⁴·2² = 8·16·4 = 512
a destra: 2⁽³⁺⁴⁺²⁾ = 2⁹ = 512 - Secondo esercizio
5³·5⁷·5⁵·5⁴ = 5⁽³⁺⁷⁺⁵⁺⁴⁾ = 5¹⁹
Moltiplicazione, stessa base, gli esponenti si sommano.
4) La potenza di una potenza ha per esponente il prodotto degli esponenti.
In generale, (aⁿ)ᵐ = a⁽ⁿ・ᵐ⁾
Se prima, nella moltiplicazione tra potenze con stessa base sommavamo gli esponenti, ora, nel caso di potenze di potenze dobbiamo moltiplicarli.
Partiamo subito con gli esempi.
- Primo esercizio
(2³)⁴ = 2⁽³・⁴⁾ = 2¹²
a sinistra: (2³)⁴ = 8⁴ = 4.096
a destra: 2¹² = 4.096 - Secondo esercizio
(5³)⁵ = 5⁽³・⁵⁾ = 5¹⁵ - Terzo esercizio
[(2³)⁴]² = 2⁽³・⁴・²⁾ = 2²⁴
Chiaro, no?
Passiamo all'ultima proprietà.
5) Il quoto di due potenze con base uguale ha per esponente la differenza degli esponenti.
Parliamo di quoto poiché, come spiegato all'inizio, abbiamo un risultato intero (senza resto o decimali), essendo le basi sempre uguali. Altrimenti avremo parlato di quoziente.
In generale, aⁿ/aᵐ = a⁽ⁿ ⁻ ᵐ⁾
Basta ricordarsi che, per le moltiplicazioni tra potenze con base uguale gli esponenti si sommavano, mentre ora, nelle divisioni, si sottraggono.
Quindi, esercizi.
- Primo esercizio
2⁴/2² = 2⁽⁴⁻²⁾
sinistra: 2⁴/2² = 16/4 = 4
a destra: 2⁽⁴⁻²⁾ = 2² = 4 - Secondo esercizio
5⁷/5⁴ = 5⁽⁷⁻⁴⁾ = 5³ - Terzo esercizio
2²/2⁴ = 2⁽²⁻⁴⁾ = 2⁻² = 1/(2²) = 1/4
ricordiamoci che una potenza con esponente negativo è uguale all'inverso della base con esponente positivo al divisore
Per finire, consiglio di leggere anche Potenze con base negativa.
Capitoli
- Precedente: Proprietà numeri relativi, regole delle operazioni.
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