Il Triangolo di Tartaglia. Spiegazione ed esercizi

Finora abbiamo visto la risoluzione di operazioni abbastanza semplici nel mondo algebrico dei monomi e dei polinomi. Magari con una potenza bassa, alla seconda o alla terza.

Bene, ma come si può risolvere facilmente un binomio con esponente superiore, elevato alla quarta, alla quinta, alla sesta, e così via?

Per nostra fortuna, nel corso della storia, sono vissuti personaggi straordinari che hanno preso la matematica e l'hanno "rivoltata come un calzino", rendendo la vita dei posteri un po' più serena.

Sommario

• Introduzione
• Come si costruisce il Triangolo di Tartaglia
• A cosa serve, come si utilizza il Triangolo di Tartaglia
• Come si comportano le potenze nei vari monomi

Il Triangolo di Tartaglia, introduzione

In questa pagina vi scrivo qualcosa sul Triangolo di Tartaglia, particolarmente utile per calcolare i coefficienti delle potenze di (a + b) ⁿ, dove "n" è l'esponente del nostro binomio.

Pensiamo ad esempio a questi tre monomi:

• (a + b) ⁴
• (a + b) ⁵
• (a + b) ⁶

Sembrerebbero alquanto complicati... e invece con un piccolo stratagemma si risolvono in pochi secondi.

Prima di procedere, però, è d'obbligo un omaggio biografico all'autore di questo trucchetto matematico.

Il matematico italiano, famoso per l'omonimo "triangolo" e per aver risolto le equazioni di terzo grado con una formula risolutiva, Niccolò Fontana, soprannominato "Tartaglia" per via della sua balbuzie, è nato a Brescia (in Lombardia) nel 1499 circa ed è morto a Venezia (nel Veneto) nel 1557, all'età di 58 anni.

Perfetto, possiamo passare oltre introducendo il Triangolo di Tartaglia:

Il Triangolo di Tartaglia

Come potete notare, nello schema presente in lavagna, abbiamo una piramide di numeri che partono dall'1 e che crescono andando verso il basso. A destra, ad ogni riga corrisponde un valore di "n", ossia l'esponente del binomio.

Per n=0 c'è l'1, per n=1 c'è la sequenza 1 1, per n= 5 la sequenza 1 5 10 10 5 1, e così via, si potrebbe continuare anche per n=6, n=7, eccetera.

Come si costruisce il Triangolo di Tartaglia

Sapete come si realizza questa piramide? Non è complicato, anzi, è pure divertente, come alcuni giochi dell'enigmistica o indovinelli di logica.

Iniziando dall'alto, ogni numero non è altro che la somma dei due numeri inseriti sopra di esso in diagonale.

Prendiamo ad esempio il 3, questo si trova al di sotto dei numeri 1 e 2, e la loro somma dà appunto 3.
Così come il 5 è dato dal 4 + 1 della riga precedente e il 10 dal 5+5.
Se volessimo continuare il triangolo con un'altra riga, avremo ai margini (destro e sinistro) sempre il numero 1 e poi, partendo da sinistra verso destra: 6 (dal 5+1), 15 (dal 5+10), 20 (da 10+10), 15, 6.

Chiaro, no? Sì? Bene, continuiamo.

A cosa serve, come si utilizza il Triangolo di Tartaglia

In pratica, in base all'esponente ("n") del nostro binomio otteniamo subito i coefficienti corrispondenti nel triangolo (quelli presenti nella stesse riga).

Vediamo qualche esempio.

Per un binomio del tipo (a+b)² , dove n=2, guardando lo schema notiamo che nella riga di n=2 ci sono i numeri 1 2 1, che sono i tre coefficienti che ci serviranno per la risoluzione del quadrato del binomio.
Infatti (a+b)² è uguale a: (a² + 2ab + b²), che presenta appunto i coefficienti 1 2 1 (ovviamente, come ben sapete, il coefficiente è sottinteso, quindi si può anche non mettere.

Tuttavia, se volete avere un quadro più chiaro potete scriverli, in questo modo  (1a² + 2ab + 1b²).

Proviamo con un esercizio più difficile.

• (a + b) ⁴

Quindi, n=4 e nel Triangolo di Tartaglia corrisponde alla sequenza 1 4 6 4 6 1, come potete vedere qui sotto:

Triangolo di Tartaglia con esponente 4

Non ci resta che riscrivere i coefficienti davanti ai vari monomi:

• (a + b) ⁴  = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

Nota bene: l'esponente di "a" in "ab" decresce: 4, 3, 2, 1, mentre quello di "b" cresce: 1, 2, 3, 4.

Proviamo anche con

• (a + b) ⁵
• n= 5, perciò i coefficienti sono: 1 5 10 10 5 1
• li inseriamo nel nostro polinomio:
  a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

Hai capito il buon vecchio Tartaglia.. .

Così è molto più facile risolvere questi binomi elevati ad una potenza maggiore del solito 2 e 3.

Come si comportano le potenze nei vari monomi

Basta inserire all'inizio e alla fine del risultato le due lettere (a e b) con l'esponente "n".

In mezzo inseriamo i nostri coefficienti e la parte letterale (ab) facendo decrescere l'esponente di "a" e facendo crescere l'esponente di "b" (osservate gli ultimi due esercizi, notate la sequenza di esponenti in "ab", con "a" in decrescita e "b" in crescita?).

E il gioco è fatto, si risolve un binomio complesso in pochi secondi.

Se avete dubbi, domande, scrivete pure qui sotto!