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Polinomi, operazioni: addizione e sottrazione. Spiegazione ed esercizi

Una volta imparate le caratteristiche dei polinomi (trovi informazioni a fine testo), passiamo ora alle operazioni iniziando dalla semplice addizione o somma.

La somma di due polinomi sarà un polinomio contenente tutti i monomi o termini che fanno parte dei due polinomi, unendo i monomi simili.

Un esempio chiarirà meglio il concetto.
Abbiamo due polinomi
3a + 2b + 5c
2a + b - 3c 
e vogliamo fare l'addizione
(3a + 2b + 5c) + (2a + b - 3c) 
avremo quindi
3a + 2b + 5c + 2a + b - 3c 
dove notiamo subito alcuni termini simili che possiamo unire; li inseriamo in parentesi per meglio capire il passaggio
(3a + 2a) + (2b + b) + (5c- 3c) 
Risolvendo i termini simili, otteniamo
5a + 3b + 2c 
che è il nostro risultato finale, un nuovo polinomio.
Proviamo con un altro esercizio più difficile
Sommiamo i due polinomi
5a2 - ab + b2 - 3a3
4b2 + ab + 5a2 + 3a3  
(5a2 - ab + b2 - 3a3) + (4b2 + ab + 5a2 + 3a3 ) =
= 5a2 - ab + b2 - 3a3 + 4b2 + ab + 5a2 + 3a3  
Mettiamo vicini i termini simili
= 5a2 + 5a- ab + ab + b2 + 4b2 + 3a3 - 3a3  
Possiamo notare subito che alcuni termini (o monomi) sono praticamente identici ma con segno opposto, quindi si possono eliminare: (ab - ab) e (3a3 - 3a3
Gli altri li sommiamo, ottenendo alla fine
= 10a2 + 5b2  
un semplicissimo polinomio, composto da due monomi.
Per quanto riguarda la sottrazione, la differenza di due polinomi, i passaggi sono gli stessi, ricordando però che il segno "-" cambierà tutti i segni del secondo polinomio: il "+" diventerà "-" e il "-" diventerà "+".

Come esercizio, e per poter capire le differenze, riprendiamo gli esempi di prima, usati per le addizioni.
Abbiamo due polinomi
3a + 2b + 5c
2a + b - 3c 
e vogliamo fare la sottrazione
(3a + 2b + 5c) - (2a + b - 3c) 
avremo quindi
3a + 2b + 5c - 2a - b + 3c 
dove notiamo subito alcuni termini simili che possiamo unire
3a - 2a + 2b - b + 5c + 3c
Risolvendo i termini simili, otteniamo
a + b + 8c 
che è il nostro risultato finale, un nuovo polinomio.
Passiamo al secondo esercizio più complicato
Procediamo con la sottrazione dei due polinomi
5a2 - ab + b2 - 3a3
4b2 + ab + 5a2 + 3a3  
(5a2 - ab + b2 - 3a3) - (4b2 + ab + 5a2 + 3a3 ) =
= 5a2 - ab + b2 - 3a3 - 4b2 - ab - 5a2 - 3a3  
Mettiamo vicini i termini simili
= 5a2 - 5a- ab - ab + b2 - 4b2 - 3a3 - 3a3  
Possiamo notare subito che due termini (o monomi) sono uguali ma con segno opposto, quindi si possono eliminare: (5a2 - 5a2
Risolvendo il resto otteniamo
= -2ab -3b2 -6a3  
Mettendo i termini in ordine di esponente:
 - 6a3 - 3b2 - 2ab 
Un polinomio caratterizzato dai segni "-". Volendo, potremmo scriverlo in un altro modo, inserendo il polinomio all'interno delle parentesi e spostando fuori il segno "-":

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