Monomi: Massimo comun divisore e minimo comune multiplo

Oggi torniamo su due argomenti già trattati in precedenza, cioè il Massimo Comune Divisore (M.C.D.) e il minimo comune multiplo (m.c.m.).

L'unica differenza è che, stavolta, complicheremo un po' la situazione con l'inserimento dei monomi, elementi che appartengono al mondo dell'algebra.

Trattiamo i due metodi uno per volta, iniziando dal MCD.

Massimo comune divisore tra monomi

Il massimo comune divisore tra due o più monomi è quel monomio che ha per parte letterale tutte le lettere uguali (presenti in ogni monomio) prendendo l'esponente più basso e come coefficiente il massimo comune divisore dei valori assoluti dei coefficienti, se i numeri sono interi oppure "1" se non sono interi.

Proviamo con un facile esercizio

Prendiamo in considerazione i tre monomi

4x⁵  ;  12x³  ;  20x² 

La prima cosa che notiamo è che in tutti e tre, come parte letterale comune abbiamo la "x".
Secondo la regola si deve prendere l'esponente più basso, cioè x² .
Invece, come coefficiente calcoliamo il MCD tra i coefficienti (4; 12; 20).
Se avete ben capito come funziona il massimo comun divisore sarete in grado di trovarlo facilmente (altrimenti ripassate l'argomento seguendo il link segnalato qui sopra ad inizio testo).
Vediamo subito che 4, 12 e 20 sono tutti divisibili per 4; perciò, 4 sarà il nostro MCD.

In conclusione, abbiamo la parte letterale (x²) e il coefficiente (4). Li mettiamo insieme e otteniamo il nostro MCD:

Massimo comune divisore = 4x²

 Infatti, ogni monomio è divisibile per tale MCD:

• 4x⁵ : 4x² = x³
• 12x³  : 4x² = 3x
• 20x² :4x² = 5

Non pare particolarmente difficile, vero? Forse dobbiamo provare con un esercizio un po' più complicato. Siete pronti?

20x⁴y ;  5x⁶y²z;  35x⁷y³ 

Cosa notiamo?
Ci sono più lettere (x, y e z) e la lettera z non è presente in tutti i monomi.

Come ci comportiamo allora?

Ricordiamo che il massimo comune divisore è quella parte per la quale ogni monomio è divisibile.

Detto ciò, sicuramente non potrà contenere la "z", ma x e y sì perché sono presenti in tutti e tre i monomi.

Il MCD avrà come parte letterale "xy". Quali saranno gli esponenti?

Come scritto prima, si prendono gli esponenti più bassi.

Per la "x" dobbiamo scegliere tra 4, 6 e 7: il più piccolo è 4.

Per la "y" scegliamo tra 1, 2 e 3: il più piccolo è 1.

Quindi:

x⁴y

Ora, passiamo al coefficiente: tra 20, 5 e 35 il più basso è 5.

Uniamo le due parti e otteniamo il nostro massimo comune divisore:

MCD = 5x⁴y

Provate voi a fare la verifica, dividendo ogni monomio per il MCD appena trovato.

Casi particolari

Se tra i coefficienti vi trovate una frazione, allora il MCD tra i coefficienti sarà uguale a 1. Molto semplice, appena vedete delle frazioni sapete già che il massimo comune divisore è pari a 1. A quel punto dovrete solo calcolare la parte letterale, come fatto finora.

Minimo comune multiplo tra monomi

Adesso tocca al mcm (se non ve lo ricordate, ripassatelo seguendo il link indicato ad inizio pagina).

Il minimo comune multiplo tra due o più monomi è quel monomio che ha per parte letterale tutte le lettere prendendo l'esponente più alto e come coefficiente il minimo comune multiplo dei valori assoluti dei coefficienti, se i numeri sono interi, oppure "1" se non sono interi.

Qual è la prima differenza che notiamo in questa definizione?
Mentre prima nel MCD si prendevano solo lettere che era presenti in tutti i monomi, qui, nel mcm si prendono tutte le lettere, anche quelle presenti in un solo monomio.

Tutto sarà più chiaro con un esempio, un esercizio. Iniziamo con uno semplice, anzi, proviamo con lo stesso risolto prima, così possiamo capire meglio le differenze:

4x⁵  ;  12x³  ;  20x² 

Calcoliamo il m.c.m.

• Parte letterale: x
  esponente più alto: 5
  quindi: x⁵
• Coefficiente: 60
  poiché è l'unico numero divisibile per tutti e tre (diviso 4 dà 15; diviso 12 dà 5; diviso 20 dà 3)

Il minimo comune multiplo dei monomi 4x⁵ ; 12x³ ; 20x²  è 60x⁵

Altro esercizio un po' più difficile

10x³y ;  5xy⁵z;  4x⁷y³ 

Stesso procedimento di prima:

• Parte letterale (si prendono tutte le lettere): xyz
  esponenti più alti: il 7 per la "x", il 5 per la "y", 1 per la "z"
  quindi: x⁷y⁵z
• Coefficiente: 20
  20 è divisibile sia per 10, che per 5 che per 4.

Il minimo comune multiplo dei monomi 10x³y ;  5xy⁵z;  4x⁷y³  è 20x⁷y⁵z

Casi particolari

Anche qui, se tra i coefficienti vi trovate una frazione, il mcm tra i coefficienti sarà uguale a 1. Dopodiché dovrete solo calcolare la parte letterale, come fatto finora.

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