Operazioni con frazioni: addizione e sottrazione

Prima fornirti una spiegazione semplice sulle operazioni con le frazioni, ti ricordiamo che qui in basso, a fine testo, troverai i collegamenti ad altri capitoli che trattano l'argomento.

Bene, passiamo alla matematica con le sue numerose regole, a volte facili da capire, altre volte davvero difficili.

Una volta capito cosa sia la frazione, cioè la divisione tra un numero e un altro, possiamo iniziare a fare qualche operazione di base. Ad esempio, potremmo sommare due frazioni tra loro, oppure fare una sottrazione.

Il primo caso è davvero semplice. Vediamolo insieme.

Addizione e sottrazione di frazioni con denominatore uguale

In questo caso non servono grandi calcoli. Infatti, se due o più frazioni hanno tutte lo stesso denominatore (il numero sotto la barra di frazione), allora si può tranquillamente sommare o sottrarre i numeri che si trovano sopra la barra, cioè i numeratori.

Proviamo con un esercizio, come esempio.
Iniziamo con l'addizione, la somma di due frazioni con lo stesso denominatore, cioè 9.

Addizione, somma di due frazioni con lo stesso denominatore

Come vedete qui sopra, dato che le due frazioni hanno uguale denominatore, il risultato finale sarà pari alla somma tra i due numeratori (4+6), fratto il denominatore comune, cioè 9.

La stessa regola vale per la sottrazione di frazioni con uguale denominatore. Ecco un altro esercizio:

Sottrazione di due frazioni con uguale denominatore

 Anche qui, abbiamo un denominatore comune che è pari a 13. Il risultato sarà pari alla sottrazione del primo numeratore (8) con il secondo numeratore (5), il tutto (cioè 3) fratto 13.

Provate a fare voi un po' di esercizi inventando i numeri. Basta che il denominatore, delle due frazioni, sia uguale. Utilizzate anche grandi cifre, come 40 + 30, oppure 70-25. E così via.

Regola addizione e sottrazione di frazioni con lo stesso denominatore 

La somma (o la differenza, sottrazione) di due frazioni con uguale denominatore è uguale ad una frazione che ha lo stesso denominatore delle frazioni date e il numeratore uguale alla somma (o alla differenza, sottrazione) dei numeratori. 

Se vi trovate ad avere a che fare con somme e sottrazioni di più frazioni (tre, quattro...) non vi preoccupate, la regola è sempre valida: il denominatore rimane uguale, mentre tutti i numeratori (sopra la barra di frazione) si sommano (esempio: 6+12+20+5 con tutti i denominatori fratto 7 = 43 fratto 7) o si sottraggono (15-5-3-4 tutti i denominatori fratto 5 = 3 fratto 5).

Se invece avete più frazioni con somme e sottrazioni insieme (ad esempio, con i numeratori: 20-5+10), non abbiate paura, basterà fare le somme e le sottrazioni seguendo l'ordine da sinistra verso destra (nell'esempio si fa prima 20-5 che fa 15 e poi 15 + 10 che fa 25; al denominatore metterete sempre lo stesso denominatore presente già nelle frazioni di partenza.

Addizione e sottrazione di frazioni con denominatore diverso

Dovendo eseguire l'addizione o la sottrazione di due frazioni con denominatore diverso, come si può fare?

In questo caso basterà ridurre le frazioni allo stesso denominatore, calcolando il Massimo Comune Divisore (cliccandoci sopra aprirai la pagina che ti spiega come fare, oppure leggi il capitolo "Cosa sono le frazioni? Come si semplificano?", che ti segnaliamo qui sotto, a fine testo).

Questo passaggio è obbligatorio per poter sommare o sottrarre due o più frazioni.
Bisogna sempre fare in modo che tutte abbiano lo stesso denominatore, altrimenti sarebbe come sommare cioccolatini con arance, non si può.

Una volta calcolato il denominatore comune, cioè il Massimo Comune Divisore (abbreviato in M.C.D.), avremo delle frazioni simili a quelle viste prima, con lo stesso denominatore. A quel punto sarà un gioco da ragazzi risolverle.

Regola addizione e sottrazione di frazioni con lo diverso denominatore 

Per calcolare la somma (o la differenza, sottrazione) di due frazioni con diverso denominatore, si riducono prima al Massimo Comune Divisore e solo dopo si sommano (o sottraggono) i numeratori.

Impara bene a calcolare il MCD, prima di fare esercizi sulle frazioni con diverso denominatore. Sia con la pagina segnalata sopra, che con quella indicata qui sotto, potrai capire meglio l'argomento e diventare un esperto in materia.

Nel frattempo, cerchiamo comunque di fare un esercizio facile. Ecco una somma di due addizioni con diverso denominatore.

Somma di frazioni con diverso denominatore

Si calcola il MCD tra 8 e 20
Cioè, quel numero che è divisibile per tutti e due i denominatori.

Il primo numero divisibile sia per 8 che 20 è 40.
Infatti, 40 è divisibile per 8 (e fa 5), ed è divisibile per 20 (e fa 2).

Ora, dobbiamo sostituire i denominatori di partenza (8 e 20) con il nuovo denominatore calcolato (40).

Non possiamo solo sostituirlo e basta. In ogni frazione, se cambia il denominatore cambierà anche il numeratore. E come?

Semplice, si divide il nuovo denominatore (40) per il vecchio denominatore (8 nella prima frazione e 20 nella seconda).

Addizione di frazioni con diverso denominatore.
Massimo Comune Divisore

Il risultato lo si moltiplica per il numeratore collegato.

Andiamo con ordine:

• 40 diviso 8 = 5
• 40 diviso 20 = 2

Addizione di frazioni con Massimo Comune Divisore

Come potete notare, grazie a questo "trucchetto" ora abbiamo una normale somma di frazioni con lo stesso denominatore, proprio come quelle viste prima.

Sarà quindi veloce, adesso, risolvere l'operazione:

Addizione di frazioni con Massimo Comune Divisore

Visto? Facile, no?
L'importante è trasformare sempre le frazioni in frazioni con uguale denominatore.
Senza questa operazione non si potrà né sommare né sottrarre.

Lo stesso procedimento vale per le sottrazioni di frazioni con diverso denominatore: si calcola il Massimo Comune Divisore (MCD), si divide per i vecchi denominatori e il risultato lo si moltiplica per i numeratori collegati. A quel punto basterà fare la sottrazione dei numeratori.

Nell'esercizio precedente, se avessimo avuto una sottrazione, cioè 5/8 - 7/20, seguendo i vari passaggi visti sopra, alla fine avremmo avuto al numeratore 25-14 fratto 40, uguale a 11/40.

Come prima, la regola vale anche per operazioni con più frazioni (addizioni o sottrazioni di tre, quattro, cinque frazioni e anche di più).

Argomenti utili

• Cosa sono le frazioni? Come si semplificano?
• Frazioni equivalenti? Definizioni ed esempi
• Confronto tra frazioni, spiegazione ed esercizi

Come al solito, il metodo più semplice per imparare la matematica è quello di passare dalla teoria alla pratica, cercando di risolvere più esercizi possibile.