Come si calcolano le percentuali? Esempi

Ogni giorno sentiamo nominare o usiamo le percentuali: dalle elezioni politiche (Tizio ha raggiunto il 40% dei voti) alla spesa (il negozio mi ha fatto il 30% di sconto). Questo è un chiaro esempio di come la matematica possa aiutarci nella vita quotidiana.

Ma come si calcola la percentuale di un numero?

Iniziamo con i simboli, come si legge 25%?
Leggeremo "Venticinque per cento", quindi  il simbolo "%" significa "per cento" (che non vuol dire moltiplicato per cento, attenzione!).

Come avrete capito il numero 100 è il protagonista di questa operazione.

In pratica è come se avessimo una torta, divisa in 100 fette (100%). Se noi prendessimo 25 fette (cioè il 25%), quale sarà la percentuale di torta rimasta? Facile, si fa 100 fette - 25 fette = 75 fette (cioè il 75%).

Così, però, è facile. Avendo 100 fette basterà contare il numero di fette per sapere la giusta percentuale: 20 fette sono il 20%, 80 fette sono l'80%...

Proviamo con una torta da 16 fette, che ne dite?

Torta con 16 fette, calcoliamo le percentuali

Come vedete abbiamo un cerchio diviso in 16 parti uguali. Il totale, cioè 16, sarà il nostro 100%.

La prima operazione semplice che possiamo fare è quella di togliere metà della torta, cioè 8 fette. In questo caso, per calcolare la percentuale basterà fare la metà di 100, cioè 50.
Quindi, metà torta è il 50% della torta.

Proviamo a prendere 4 fette, lasciando nel piatto le altre 12 fette. Ecco qui:

Ora, guardando il disegno, cosa notiamo? Quanta torta manca?
Ad occhio ci accorgiamo che manca un quarto del totale. Infatti, calcolando 16 (totale) diviso 4 (numero di fette mancanti) abbiamo come risultato 4, cioè un quarto.

In questo caso, quale sarà la percentuale della torta mancante? E quale la percentuale della torta rimasta?

Ricordiamo che il nostro totale, cioè 16, è come se fosse il nostro 100%.
La metà (8 fette) abbiamo visto che è uguale al 50%.
Facilmente possiamo dire che un quarto (cioè 4 fette) sarà un quarto del 100%.
E quant'è un quarto del 100%?
Basta fare la divisione 100 : 4 = 25.

Ecco, le 4 fette mancanti sono il 25% della torta.
Quindi, per sapere la percentuale della torta rimasta, basterà togliere dal totale (cioè il 100%) la parte mancante (cioè il 25%),
100 - 25 = 75.
Sul piatto è rimasto il 75% della torta.

Come calcolare la percentuale

Bene, questa prima parte era per farvi capire cosa significhi una percentuale di un qualcosa.

Adesso possiamo passare al livello successivo, esiste una formula per calcolare qualsiasi percentuale?
Certo, eccola!

Questo passaggio è un po' più difficile, perché dobbiamo utilizzare una proporzione.

La proporzione per calcolare la percentuale è

(Percentuale da calcolare) : 100 = (Valore della percentuale) : (Totale)

che si legge

(Percentuale da calcolare) sta a 100 così come (Valore della percentuale) sta al (Totale)

Tornando all'esempio di prima, risulterà più facile capire di cosa stiamo parlando.

Il "Valore della percentuale" era 4 (fette), mentre il "Totale" era 16 (fette), quindi:

(Percentuale da calcolare) : 100 = 4 : 16

che si legge

(Percentuale da calcolare) sta a 100 così come 4 sta a 16

Una semplice proporzione: in pratica stiamo dicendo che una porzione (una parte) di 100 è pari ad una porzione (una parte) di 16.

Noi sappiamo, da prima, che la "Percentuale da calcolare" è 25 (cioè il 25%), ma qual è la formula generale per calcolare le percentuali?

Riprendiamo la proprorzione

(Percentuale da calcolare) : 100 = (Valore della percentuale) : (Totale)

e, per facilitare il tutto, sostituiamo le scritte

• "Percentuale da calcolare" con una "p"
• "Valore della percentuale" con una "V"
• "Totale" con "T"

In questo modo possiamo riscrivere la proporzione così:

p : 100 = V : T

cioè, p sta a 100 così come V sta a T 

Chiaro? Volete sapere la formula?

La formula per calcolare la percentuale è questa:

p (%) = (100 x V) / T

"p" è uguale a 100 moltiplicato "V", fratto "T"

Dove p è la percentuale da trovare, V è il valore (noto) della percentuale e T è il totale.

Nel nostro esercizio avremo:

p : 100 = 4 : 16 (proporzione)

p = (100 x 4) / 16 (formula)

p = 400 / 16 = 25

Che è il risultato che abbiamo ottenuto prima, cioè il 25%.

Esercizio più difficile
Abbiamo 40 euro, ne spendiamo 27. Qual è la percentuale di soldi spesi?

La proporzione è

p : 100 = 27 : 40

In formula:

p = (100 x 27) / 40

p = 2700 / 40 =  67,5

Perciò, abbiamo speso il 67,5% dei nostri soldi.
Ed è rimasto il 32,5% dei soldi (cioè 100 - 67,5).

E la formula inversa delle percentuali?

Già, se noi volessimo calcolare, al contrario, il valore (V) di una percentuale nota, come potremmo fare?

Si tratta di una semplice inversione matematica.
Partendo dalla formula di prima, isoliamo V (in pratica, con alcuni passaggi, lasciamo la V da sola e tutti gli altri valori li portiamo dall'altra parte dell'uguale) :

La nostra formula inversa sarà

V = (p x T) / 100

il valore della percentuale è uguale al prodotto tra percentuale e totale, fratto 100 

Come sempre, sarà più facile capire con un esercizio.

In un negozio vediamo una maglia che costa 150 euro. Ma il negoziante ci farà uno sconto del 35%.
Di quanto verrà scontata la maglia?

Dalla proporzione

p : 100 = V : T

otteniamo, tramite i dati dell'esercizio, che

 35 : 100 = V : 150

Come potete notare, l'unico dato che ci manca è proprio V.
Usiamo allora la formula inversa

V = (p x T) / 100

e sostituiamo i dati noti

V = (35 x 150) / 100

V =  (5250) / 100

V =  52,5

Questo risultato (52,5) sarà lo sconto che il negoziante ci farà sul prezzo totale della maglia.
Quindi, dato che il valore dello sconto si toglie dal totale, pagheremo:

150 - 52,5 = 97,5

Una maglia che costava 150 euro, grazie allo sconto del 35%, la pagheremo 97,5 euro.