Risolvere espressioni matematiche con frazioni. Esercizi svolti

Iniziamo questo argomento dando per scontato che conosciate già le frazioni. Se così non fosse provate prima a leggere la pagina dal titolo "Cosa sono le frazioni?", il cui collegamento, insieme ad altri, trovate in fondo.

Cerchiamo infatti di vedere come si comportano all'interno delle espressioni matematiche, cioè in una serie di operazioni come la somma, la sottrazione, la divisione e la moltiplicazione (e anche le potenze).

Partiamo da alcune regole, proprietà importanti:

1. Se nell'espressione non ci sono parentesi, si devono prima risolvere le operazioni di moltiplicazione e divisione. Solo dopo si può passare a somme e sottrazioni.
2. Se ci sono parentesi, allora si risolvono prima le operazioni all'interno delle parentesi, seguendo sempre l'ordine della regola (1)
3. Se ci sono parentesi dentro altre parentesi (ad esempio quelle tonde dentro quelle quadre) si risolvono prima quelle più interne.

Ogni parentesi è come se fosse un'espressione:
si risolve e il risultato diventerà parte dell'espressione principale.

Ricordiamo l'ordine per risolvere le espressioni:
(ripassa leggendo la pagina segnalata sotto, in "Argomenti simili")

• Prima le potenze (leggi "Cosa sono le potenze, come si calcolano")
• poi le moltiplicazioni e le divisioni
• alla fine, le addizioni e le sottrazioni

Dando sempre precedenza alle parentesi: se ho una moltiplicazione per una parentesi con dentro una somma, risolverò prima la parentesi, cioè la somma, e poi la moltiplicazione.

Ad esempio,
5 x ( 3 + 2 )
calcolo prima il 3+2 che fa 5, e poi la moltiplicazione 5 x 5 = 25.

Diciamo che la parentesi "vince" sulle potenze, su moltiplicazioni e divisioni e queste "vincono" su somme e sottrazioni.

Con più moltiplicazioni e divisioni in un'unica espressione, si risolvono seguendo l'ordine, da sinistra verso destra:

• 4 x 5 : 4 : 2 = 20 : 4 : 2 = 5 : 2
  abbiamo infatti calcolato, in ordine, prima la moltiplicazione e poi le divisioni, una per una, andando verso destra
• Con parentesi, invece:
  4 x 5 : (4 : 2) = 4 x 5 : (2) = 4 x 5 : 2 = 20 : 2 = 10
  vedete? Con la parentesi cambia completamente il risultato, perché calcoliamo prima la divisione (4:2), in parentesi, e solo dopo il resto.

Altro esercizio senza e con parentesi:

• 20 x 10 : 8 x 2 = 200 : 8 x 2 = 25 x 2 = 50
• 20 x 10 : (8 x 2) = 20 x 10 : 16 = 200 : 16 --> semplificando --> 25 : 2

Ora, per calcolare le espressioni con le frazioni, si seguono le stesse regole, anche perché una frazione è come una divisione, quindi 200:16 (duecento diviso sedici) è come dire 200/16 (duecento fratto sedici).

Ad esempio,

Espressione con frazioni - Esercizio risolto

Nella prima riga abbiamo un'espressione con due parentesi. La prima parentesi contiene una "mini" espressione, così come la seconda, con delle frazioni. Tra le due parentesi c'è un segno di moltiplicazione (questo vuol dire che, una volta risolte le due parentesi tonde moltiplicheremo i due risultati che otteniamo. 

Attenzione alla potenza, sulla seconda parte.

Prima parentesi



"Un mezzo meno due più un terzo".

Per risolvere dobbiamo trovare il minimo comune multiplo tra i denominatori (il numero che si trova sotto la barra) delle frazioni.

[Leggi "Come si fa il Minimo comune multiplo"]

Il 2 non ha denominatore: quando non c'è è come se fosse "fratto uno", quindi il "due" è come se fosse "due fratto uno".
I tre denominatori sono, perciò: 2, 1 e 3.

Il minimo comune multiplo è 6 e si mette come unico denominatore della frazione della prima parentesi (vedi seconda riga).

I numeratori (numeri sopra la barra della frazione) sono calcolati dividendo il minimo comune multiplo (cioè 6) per ciascun denominatore delle tre frazioni (cioè, quelli di prima: 2,1 e 3); il risultato si moltiplica per il numeratore relativo (cioè 1, 2 e 1). Quindi, le tre frazioni della prima parentesi diventano:

• 1/2 -- > si fa 6:2x1 = 3 (ecco il primo numeratore da mettere nella nuova frazione
• 2/1 -- > si fa 6:1x2 = 12 (il secondo numeratore)
• 1/3 -- > si fa 6:3x1 = 2 (il terzo numeratore)

Quindi abbiamo:



Cioè:



"meno sette sesti" --- > questo è il risultato della prima parentesi.

Seconda parentesi



La potenza si calcola dopo la parentesi.

Nella parentesi il minimo comune multiplo di 2, 1 e 3 è di nuovo 6.

Dividiamo di nuovo il minimo comune multiplo per i vari denominatori e moltiplichiamo per i numeratori. Otteniamo:

 

Cioè:



Ricordiamoci che 1/6 è elevato alla seconda potenza (elevato a 2), quindi abbiamo (1/6)² che è il risultato della seconda parentesi.

L'espressione ("risultato prima parentesi" per "risultato seconda parentesi") diventa quindi:



Risolvendo la potenza, l'1 rimane 1, mentre il 6, moltiplicato per se stesso, dà 36:



Nelle moltiplicazioni tra frazioni si moltiplica, molto semplicemente, il numeratore per il numeratore (-7 x 1) e il denominatore per il denominatore (6 x 36):



Che è il risultato finale dell'esercizio svolto.

Altri due esercizi su espressioni con frazioni

Esercizio (1) su espressioni con frazioni

Il risultato finale è composto da una serie di fattori al numeratore e una serie al denominatore.
Con la regola della semplificazione, possiamo ridurre la frazione.

Il 9 "di sopra" si può eliminare con il 9 "di sotto" (come fare 9:9=1).
Rimane 32x25x6 fratto 4x36x5. 

Semplifico ancora:
il 25 "di sopra" è divisibile con il 5 "di sotto". Sopra rimarrà un 5 (perché 25:5=5), mentre sotto niente (perché 5:5=1 e l'uno si può non considerare).
Rimane 32x5x6 / 4x36. 

Semplifico ancora:
32 e 36 sono divisibili per 4. Sopra rimane 8 (32:4=8) e sotto 9 (36:4=9).
Rimane 8x5x6 / 4x9. 

Semplificando di nuovo:
8 e 4 son divisibile per 4. Sopra rimane 2 e sotto niente (cioè 1).
6 e 9 son divisibili per 3. Sopra rimane 2 e sotto 3. 

La frazione diventa: 2x5x2 / 3, cioè 20/3.
Ed ecco che abbiamo semplificato di molto la nostra espressione.

Nel prossimo esempio abbiamo una frazione di frazioni.
In questi casi si riduce in una frazione semplice, moltiplicando il numeratore per l'inverso del denominatore.
Ad esempio (1/2) / (3/2) diventa (1/2) x (2/3), cioè per l'inverso.

Esercizio (2) su espressioni con frazioni

 
Non è difficile, basta ricordarsi l'ordine corretto per risolvere le operazioni.

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