Oggi ci occupiamo del rapporto che c'è tra una frazione e l'altra, facciamo un confronto per capire quale sia più grande (maggior) e quale più piccola (minore).
Ricordando che la frazione non è altro che il valore di una porzione, come ad esempio la torta (10 fette, di cui 6 mangiate, cioè 6/10 che si legge "sei decimi"; ne avanzano 4, cioè 4/10 che si legge "quattro decimi"), risulterà abbastanza facile trovare le differenze.
Iniziamo con il caso più semplice
Confronto di frazioni con denominatore uguale
Qui è facilissimo, perché, se il denominatore (numero che si trova sotto la linea di frazione) è lo stesso, allora basterà confrontare solo il numeratore (numero che si trova sopra la barra di frazione).
Proviamo a verificare due frazioni semplici: 2/5 e 4/5
Come potete subito notare hanno lo stesso denominatore, ossia "5".
A questo punto possiamo confrontare direttamente i due numeratori, cioè "2" e "4".
Dato che 2 è minore di 4, ne consegue che
- 2/5 < 4/5
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| Confronto di frazioni con uguale denominatore |
I 2/5 ("due quinti") sono rappresentati dai due blocchi blu, su cinque totali.
Mentre i 4/5 ("quattro quinti") sono rappresentati dai quattro blocchi verdi, su cinque.
La quantità di spazio coperta dai verdi è maggiore di quella coperta dai blu, per questo motivo la prima frazione (2/5) è più piccola dell'altra (4/5).
Potete provare a fare molti altri esempi, con frazioni di uguale denominatore.
Passiamo ora ad un altro livello.
Confronto di frazioni con numeratore uguale
In questo caso abbiamo uno stesso numeratore e un diverso denominatore.
Per esempio, rientrano in questa categoria, le frazioni 1/4 ("un quarto") e 1/6 ("un sesto").
Al contrario di prima, qui risulta essere più grande la frazione con denominatore più piccolo.
Quindi, 1/4 è maggiore di 1/6.
Graficamente,
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| Confronto di frazioni con uguale numeratore |
Il quadrato blu di 1/4 è visibilmente più grande del quadrato verde di 1/6.
Perciò, se due frazioni hanno lo stesso numeratore, quella maggiore sarà la frazione con numeratore più piccolo. Basta ragionare al contrario.
Veniamo adesso al caso più difficile.
Confronto di frazioni con numeratore e denominatore diversi
Infine, ci occupiamo del confronto meno semplice.
Stiamo parlando del caso in cui abbiamo due frazioni, con numeratore e denominatore diversi.
Come faremo a capire quale sarà più grande quale più piccola?
Ad esempio, osserviamo le frazioni
- 1/2 ("un mezzo")
- 2/3 ("due terzi")
Cosa significa?
Vuol dire che dobbiamo trasformare le due frazioni, in modo tale da ottenere due nuove frazioni che avranno lo stesso denominatore.
Non è difficile.
Nel caso precedente (1/2 e 2/3) abbiamo come denominatori il "2" e il "3".
Per trovare il minimo comune denominatore, dobbiamo cercare un numero che sia divisibile per tutti e due. Ovviamente sarà un numero maggiore dei due denominatori.
Si parte dal più grande dei due, in questo caso il "3".
Si raddoppia (3x2) e si ottiene un bel 6.
A questo punto verifichiamo se il 6 è divisibile per l'altro denominatore, il "2", e in effetti, sì, è divisibile, perché esiste la divisione, infatti 6:3= 2.
Se non fosse stato così, avremmo dovuto continuare a cercare e al "6" avremmo sommato un'altra volta il "3", ottenendo un "9" e ripetendo la verifica con il secondo denominatore.
Ma siamo stati fortunati, e quindi il nostro minimo comune denominatore è il 6.
Ovviamente, cambiando il denominatore delle nostre frazioni, cambierà anche il numeratore. Basterà dividere il "6" per ciascun denominatore e moltiplicare il risultato per il numeratore:
- 1° frazione (1/2)
facciamo 6 diviso 2 e otteniamo un 3, che, moltiplicato per 1, dà sempre 3, il nostro nuovo numeratore - 2° frazione (2/3)
facciamo 6 diviso 3 e otteniamo un 2, che, moltiplicato per 2, dà 4, l'altro nostro nuovo numeratore
- 1/2 diventa 3/6
- 2/3 diventa 4/6
Per capire quale sia la maggiore, basterà rivedere il primo caso che abbiamo trattato in questa pagina (leggi sopra), ossia quando le due frazioni hanno lo stesso denominatore.
Abbiamo 3/6 e 4/6, il primo numeratore (3) è più piccolo del secondo (4), quindi la prima frazione è minore della seconda.
- 3/6 < 4/6
- quindi, tornando all'inizio, anche 1/2 < 2/3
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| Confronto di frazioni con diversi numeratori e denominatori |
Nella prima riga abbiamo prima 1/2 e poi, dopo la trasformazione, 3/6 (in pratica è la stessa frazione, lo si vede dallo spazio occupato dai blocchi blu).
Nella seconda riga, invece, 2/3 e poi 4/6, che coprono lo stesso spazio, sono quindi uguali.
Ora, confrontiamo le due frazioni.
Sia nel primo caso (1/2 blocchi blu e 2/3 blocchi verdi), che nel secondo caso (3/6 blocchi blu e 4/6 blocchi verdi), ci accorgiamo subito che lo spazio ricoperto dal verde è maggiore di quello coperto dal blu.
Quindi, come già calcolato prima,
- 1/2 < 2/3
- così come 3/6 < 4/6
- 2/3 > 1/2
- 4/6 > 3/6
Se tre sesti è minore di quattro sesti, allora quattro sesti è maggiore di tre sesti.
Cambiando l'ordine delle frazioni, cambia anche il verso del simbolo, che da minore ("<") diventa maggiore (">").
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