Frazioni equivalenti, spiegazione. Definizioni ed esercizi

Dopo aver capito le basi della frazione (segui collegamento in fondo), proviamo a fare un passo in avanti e cerchiamo di saperne di più sulle frazioni equivalenti. Cosa sono?

Partiamo da una spiegazione molto semplice, e quindi da un esempio concreto, di vita quotidiana.

Durante una festa, Marco, Lisa e Giulia si siedono al tavolino davanti alla propria piccola torta (un tortino diciamo). Ognuno di loro la mangia in modo diverso:

Marco la divide a metà e ne mangia una.
Lisa la divide in 4 fette e ne mangia 2.
Giulia, invece, la divide in 8 e ne mangia 4.

Guardate il disegno qui sotto

Come potete notare, Marco ha mangiato 1/2 (un mezzo, quindi metà), Lisa 2/4 (due quarti, anche lei metà torta) e Giulia 4/8 (quattro ottavi, sempre metà torta).

A prima vista sembra che abbiano mangiato tutti e tre porzioni diverse di torta, ma, invece, guardando bene anche la figura sopra, ci accorgiamo che, alla fine, hanno preso la stessa quantità, cioè metà torta. L'unica differenza è che hanno tagliato le fette in modo differente.

Da questa osservazione possiamo allora capire un passaggio importante, e cioè che:

Le tre frazioni sono uguali, sono identiche. Danno lo stesso risultato.

Infatti semplificando 2/4 (basta dividere numeratore e denominatore per due) abbiamo 1/2.
E semplificando 4/8 (basta dividere per quattro) abbiamo sempre 1/2.

Allo stesso modo, se moltiplichiamo numeratore e denominatore di 1/2 per quattro otteniamo 4/8.

Definizione di Frazioni Equivalenti

Prima definizione
Due frazioni sono equivalenti se dalla prima si può passare alla seconda moltiplicando (o dividendo) numeratore e denominatore per uno stesso numero.

Possiamo fare di più, però.
C'è un piccolo trucco per capire se due frazioni sono o non sono equivalenti.

Si moltiplica il numeratore della prima frazione per il denominatore della seconda frazione (questo risultato lo chiamiamo "prodotto 1"). Poi moltiplichiamo il denominatore della prima frazione per il numeratore della seconda frazione ("prodotto 2").

Le due frazioni si dicono equivalenti se

• "prodotto 1" = "prodotto 2"

Proviamo con il nostro esempio.

Moltiplichiamo il numeratore "1" per il denominatore "4" e poi il denominatore "2" per il numeratore "2". Risolvendo:

• 1 x 4 = 4
• 2 x 2 = 4

Verifichiamo. Il "prodotto 1" è uguale al "prodotto 2"?

Certo!

Perché 4 = 4.

Quindi le frazioni 1/2 e 2/4 sono equivalenti.

Vediamo l'altro esempio, con 2/4 e 4/8 (moltiplichiamo sempre il numeratore della prima frazione per il denominatore della seconda, e poi l'inverso, denominatore della prima per numeratore della seconda):

• 2 x 8 = 16
• 4 x 4 = 16

I due prodotti sono uguali, quindi le due frazioni 2/4 e 4/8 sono equivalenti.

Seconda definizione

Due frazioni si dicono equivalenti se il prodotto del numeratore della prima per il denominatore della seconda è uguale al prodotto del denominatore della prima per il numeratore della seconda.

Proviamo con altre due frazioni, ad esempio: 3/5 e 2/3

• 3 x 3 = 9
• 5 x 2 = 10

I due prodotti non sono uguali, quindi le frazioni 3/5 e 2/3 non sono equivalenti.

Formula generale (approfondimento opzionale, per studenti più grandi)

In lettere, date le frazioni a/b e c/d, abbiamo:

Sono equivalenti se

• (a per d) = (b per c)

cioè, se

• a·d = b·c

(il puntino centrale tra le due lettere è il simbolo che si usa per indicare la moltiplicazione; spesso, quando si utilizzano le lettere, in caso di moltiplicazione non si mette niente, si scrive ad esempio, semplicemente, "ad" e "bc", e si legge comunque "a per d" e "b per c").

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