Che cosa è l'algebra? Una spiegazione semplice

Chi non conosce l'algebra non può certo capirla al volo, in due minuti. Servono anni di studio e di esercitazioni per sentirsi a proprio agio con questo ramo della matematica.

Una volta imparata si scoprirà che è molto utile per risolvere difficili problemi di aritmetica.

Ad ogni modo, proviamo a rispondere alla domanda: "Che cos'è l'algebra?".

L'algebra è lo sviluppo naturale dell'aritmetica. Gli antichi, come gli Egizi, i Babilonesi, gli Indiani (dell'India), già la conoscevano e la utilizzavano.

In pratica l'algebra è come l'aritmetica, solo che si usano anche delle lettere al posto (o insieme a) dei numeri. Serve per descrivere e risolvere operazioni, rendendole di natura "generale", valide, cioè, per diverse situazioni, con diversi numeri (dati).

Risulta comodo quando ci troviamo a dover gestire numeri con molte cifre. Sostituirli con lettere rende tutto più facile.

Algebra, due novità rispetto all'aritmetica

• la presenza delle lettere
• i numeri relativi: ogni numero può essere rappresentato come positivo (con il segno +) o negativo (con il segno -)

In precedenza abbiamo scritto una pagina sulle Proprietà delle operazioni matematiche (seguendo il collegamento blu potete fare un ripasso). Tra queste, ad esempio, troviamo la proprietà commutativa dell'addizione:

• 3 + 5 = 5 + 3 (cioè, cambiando l'ordine degli addendi, il risultato non cambia)

Tale regola vale allo stesso modo in algebra.
Supponiamo che il 3 sia la nostra "a" e il 5 sia la nostra "b", allora avremo:

• a + b = b + a

In realtà (e qui viene il bello) al posto delle lettere (in questo caso "a" e "b") potremmo mettere qualsiasi numero, non solo il 3 e il 5. Questa possibilità ci permette di risolvere numerose operazioni con una semplice formula, come ad esempio la nostra "a + b".

Esercizio pratico di algebra

Supponiamo di voler sapere la somma delle età di alcune coppie di sposi. 

L'insieme "a" contiene le età dei maschi e l'insieme "b" contiene le età delle femmine. Quindi "a" potrà essere, di volta in volta, un'età diversa (30, 40, 50, 65, per esempio); lo stesso vale per "b" (25, 35, 50, 60).
La nostra formuletta algebrica (a + b) semplifica il tutto. Basterà inserire i dati uno per volta al posto di "a" e di "b", ottenendo: (30+25 = 55), (40+35 = 75), (50+50 = 100) e (65+60 = 125).

Senza accorgercene, utilizziamo l'algebra in diverse materie. In geometria usiamo la "r" per definire il raggio di un cerchio, o la "h" per l'altezza di un poligono. Nelle operazioni più complicate usiamo la "x" per definire una incognita (cioè un dato di cui non si conosce il valore).

Regole algebriche

Ecco alcune caratteristiche dell'algebra.

• La moltiplicazione tra un numero (ad esempio "5") e una lettera (ad esempio "b") si rappresenta senza il segno "per"; non si mette nulla, quindi, (5 x b) lo scriveremo semplicemente così: (5b). Se ad un certo punto della risoluzione del problema scopriamo che "b" è uguale (per ipotesi) a "4", allora 5b darà come risultato 20 (cioè 5 x 4).
  Il numero che mettiamo davanti alla lettera viene detto "coefficiente".
• Si utilizzano le frazioni, in modo tale da poter sempre rappresentare un numero anche se non è intero: (3/5), (1/2), (6/11), ecc..
• Con l'introduzione dei numeri relativi (con segno "-" o "+") vengono rese possibili alcune operazioni che con l'aritmetica non si potevano fare. Ad esempio sarà possibile calcolare (3 - 5), perché si utilizzano anche i numeri sotto lo zero, con segno negativo; per cui: (3 - 5) = (-2).
  Numero positivo: un numero che ha il segno "+".
  Numero negativo: un numero che ha il segno "-".
• In algebra non abbiamo, come in aritmetica, i numeri 1, 2, 3, 4, ... eccetera, ma avremo sempre un segno davanti al numero, quindi +1, +2, +3, +4, ... oppure -1, -2, -3, -4, ....
• Allo stesso modo, anche le lettere avranno sempre un segno: (+a) oppure (-a), (+b) oppure (-b), eccetera. Questa regola la si può facilmente ricordare pensando che davanti alla lettera, se non sono presenti dei numeri, possiamo mettere l'1, come numero sottinteso:
  a = 1a = (1 x a) --> perché qualsiasi numero (o lettera) moltiplicato per "1" dà come risultato il numero stesso (o la lettera). In "a", il numero uno è sottinteso.
  Quindi, scrivere "-a" equivale a scrivere "-1a", come se il segno fosse portato dall'uno.

Ora diamo un'occhiata a questa rappresentazione dei numeri relativi:

Possiamo tranquillamente affermare che 10 è maggiore di 3 (cioè: 10 > 3).
Poi che (2) > (-3), e lo zero (0) è maggiore di tutti i numeri negativi.

Infine, per lo stesso ragionamento, abbiamo che (-2) > (-10).

In pratica, guardando questa linea che va da (-infinito) a (+infinito), ogni numero è maggiore di quello posto alla sua sinistra, e quindi ogni numero è minore di quello posto alla sua destra.

Se al posto del 9 avessimo una "a" e al posto del (-3) una "b", potremmo affermare che: (a > b).
Perciò, anche per le lettere, quella che sta a destra è maggiore di quella che sta a sinistra.

Se invece due lettere ("a" e "b") si trovano nello stesso punto, allora abbiamo che (a = b), un'uguaglianza. Ecco alcune proprietà:

• Riflessiva    -- > (a = a)
• Simmetrica -- > se (a = b), allora (b = a)
• Transitiva   -- > se (a = b) e (b = c), allora (a = c)

Potrebbe interessarti il capitolo: Cosa sono i numeri reali, numeri interi relativi e razionali.

Solitamente si utilizzano le lettere in questo modo:

• a, b, c, ... per indicare le quantità note e le costanti
• x, y, z, ... per indicare le incognite

Ci sono poi alcune lettere che hanno un valore prestabilito e che troviamo in alcune materie. Ad esempio il "π" (pi greco) in geometria, utilizzato per il cerchio, e che vale circa 3,14. Oppure la base logaritmica "e" che vale circa 2,7.

Piccola parentesi: Perché esistono i numeri negativi?

Gli antichi hanno iniziato a utilizzarli per risolvere diversi problemi. Pensiamo ad esempio alle altitudini, alle altezze delle colline, dei monti, rispetto al livello del mare. Possiamo dire che un colle si trovi a 50 metri sopra il livello del mare (quindi +50). 

Allo stesso modo, possiamo misurare la profondità di un pozzo (altezza negativa), che ad esempio è 50 metri sotto il livello del mare (quindi -50).
Ma ci sono tante altre situazioni in cui viene comodo usare i numeri negativi (altro esempio, se uno non ha soldi e ha solo debiti, il suo conto avrà saldo negativo, con segno "-"; oppure pensiamo alla misura della temperatura, i gradi centigradi: quando va sotto lo zero diventa negativa).