Equazioni, cosa sono e come si risolvono? Definizione ed esempi

Le equazioni, in matematica e non solo, sono molto importanti. Impararle bene significa capire poi argomenti più difficili, dove queste vengono spesso utilizzate. Ma cosa sono le equazioni?

Cerchiamo di fornire una spiegazione semplice, facile da comprendere, partendo dalla base.

Possiamo affermare ad esempio che:

• dire 8 mele è come dire 5 mele più 3 mele
• dire 10 panini è come dire 12 panini meno 2 panini
• dire 6 gomme è come dire il doppio di tre gomme

e così via. In pratica, nella matematica, potremmo dire:

• 8 = 5+3
• 10 = 12-2
• 6 = 3x2

Ecco, queste sono semplici formule, dette "chiuse", dove il valore a sinistra dell'uguale è identico al valore a destra dell'uguale (uguaglianza). Sono tutte vere, mentre sarebbe falso dire che 9 = 4+1.

Sono formule con solo numeri, ma sappiamo che in algebra potremmo avere anche delle incognite, come la "X" o la "Y". Bene, queste formule, dette invece "aperte", sono delle equazioni, come ad esempio:

• X + 5 = 10
• X + Y = 20
• 3X - 9 = 2X

Definizione di equazione

L'equazione è l'uguaglianza tra due espressioni, chiamate "membri" (a sinistra abbiamo il primo membro e a destra il secondo membro), contenenti variabili (incognite) e costanti (numeri), verificata per particolari valori delle incognite (soluzioni dell'equazione).

• primo membro = secondo membro

(Potrebbe interessarti la nostra pagina sul Come risolvere le espressioni aritmetiche)

Cambio di segno. Ogni volta che un termine (numero o incognita) viene spostato dal primo al secondo membro o viceversa, dal secondo al primo, cambierà di segno: 

• se era un "+" diventerà "-"
• se era un "-" diventerà un "+"

Esempi di cambio di segno:

• X + 2 = 5
  spostando il "+2" a destra dell'uguale, diventerà "-2"
  X = 5 - 2, che poi darà X = 3
• X = 10 - 2X
  spostando il "-2X" a sinistra dell'uguale, diventerà "+2X"
  X + 2X = 10, che poi darà 3X = 10

L'insieme delle soluzioni (o soluzione dell'equazione) è rappresentato da quei valori che, inseriti al posto delle incognite, ci portano ad avere un'uguaglianza (come quelle viste un attimo fa con solo numeri).

Per trovare le soluzioni si utilizzano i principi di equivalenza, che sono:

1. Primo principio di equivalenza
   Sommando o sottraendo al primo e al secondo membro uno stesso numero (ad esempio un 5 o un 12 o un 20, ecc...) o una stessa espressione (ad esempio un x+1 o un 2x-3, ecc..) si ha un'equazione equivalente, ossia con la stessa soluzione (o lo stesso insieme si soluzioni).
   In pratica se sommo "10" al primo membro, devo farlo anche al secondo membro. Stesso discorso per la sottrazione. In questo modo la soluzione non cambierà, sarà la stessa.
2. Secondo principio di equivalenza
   Moltiplicando o dividendo sia il primo che il secondo membro per uno stesso numero o una stessa espressione si ha un'equazione equivalente.

Questi due principi sono molto utili in fase di risoluzione dell'equazione.
Se ad esempio ci trovassimo davanti a questa:

• 3x = 6

grazie al secondo principio, possiamo dividere sia il primo che il secondo membro per il numero 3, in modo tale da isolare la x:

• (3/3)x = 6/3
  1x = 2
  x = 2

Più avanti vedremo un utilizzo pratico dei principi di equivalenza.

Per il momento tratteremo solo equazioni ad un'incognita, rimandando ad un altro giorno quelle a due o più incognite: prima impariamo a camminare e poi a correre.

E per iniziare, partiamo da equazioni di primo grado, cioè quelle con l'incognita (ad esempio "X") senza esponente (o se vogliamo essere pignoli, con esponente pari a 1). Infatti, se la X fosse elevata al quadrato, avremmo di fronte un'equazione di secondo grado (il grado è determinato dall'esponente più grande).

Prendiamo ad esempio l'equazione di primo grado, ad un'incognita, vista prima:

• 3X - 9 = 2X

Come si risolve l'equazione? Esercizi svolti

Cerchiamo prima di fare un facile schema, da seguire per trovare la soluzione.

1. Risolviamo le potenze, le moltiplicazioni, le somme, ecc... che si possono risolvere subito.
2. Isoliamo, mettiamo da un lato (ad esempio, per semplicità, a sinistra dell'uguale), tutti i termini che sono legati ad un'incognita, mentre a destra tutti gli altri termini, che saranno poi solo numeri.
   Ricordarsi di cambiare segno ogni volta che si sposta un termine a sinistra o a destra dell'uguale (un +5 diventerà -5, così come un -2x diventerà un +2x)
3. Facciamo le somme e le sottrazioni che si possono eseguire, sia a sinistra che a destra
4. Se l'incognita, rimasta a sinistra, è ad esempio moltiplicata o divisa (frazione) per un numero, togliamo anche questo, dividendo (o nel secondo caso moltiplicando) tutti i termini per quel numero

Esempio 1
Quindi, riprendendo la nostra equazione 3x - 9 = 2x, e seguendo lo schema, avremmo:

1. 3x - 9 = 2x (qui non ci sono operazioni da poter subito fare, passiamo al secondo punto)
2. Isoliamo la x, portando il 2x a sinistra e il -9 a destra:
   3x -2x = + 9
3. Risolviamo le operazioni di somma e sottrazione, quindi 3x - 2x che ci dà 1x, cioè solo x (l'uno non si mette, è sottinteso):
   x = 9
4. La nostra incognita x è già "da sola", non ha numeri che la moltiplicano o la dividono, quindi la soluzione finale sarà proprio x = 9

Esempio 2
Ora, proviamo un'equazione che invece preveda tutti i punti del nostro schema, come ad esempio:

• 4x + 3² = (3 · 2)x - 2²·(8-6)

Per non confondere la "x" con il simbolo della moltiplicazione "x" ("per"), utilizziamo il simbolo "·", un puntino centrale, che indica l'operazione di moltiplicazione.

Ora, procediamo seguendo lo schema:

1. Risolviamo prima le operazioni di potenza, moltiplicazione, somma, ecc..
   quindi, da:
   4x + 3² = (3 · 2)x - 2²·(8-6)
   abbiamo:
   4x + 9 = 6x - 4·(2)
   risolvendo ancora:
   4x + 9 = 6x - 8
2. Al punto due, lo schema ci dice di isolare l'incognita x (cambiando sempre di segno i termini che si spostano a destra o a sinistra):
   4x - 6x = -8 -9
3. Dal punto tre, risolvere somme e sottrazioni, abbiamo:
   -2x = -17
4. Infine, con il quarto punto dello schema, possiamo tranquillamente dividere tutti i membri per "-2", in modo da avere la x "da sola" (per indicare la divisione utilizziamo il simbolo di frazione " / "):
   
   -2x / (-2) = -17 / (-2)
   
   nel primo membro, (-2)/(-2) è uguale a +1 (un numero diviso per se stesso dà sempre "1"), mentre nel secondo membro -17/(-2) è uguale a +17/2
   (infatti sappiamo che il segno "-" moltiplicato o diviso per il segno "-", dà sempre il segno "+")
   
   quindi,
   
   x = 17/2

L'obiettivo finale dell'equazione è infatti isolare completamente l'incognita, portandola da un lato e spostando tutti i numeri dall'altro. Solo così possiamo rivolvere e trovare la soluzione, cioè il valore della "X".

Esempio 3

Proviamo con un'equazione un po' più difficile

• 4(x-2) + 3x = -4(2+x) + 2³

seguendo sempre lo schema, punto per punto, avremo (questa volta scrivo solo i passaggi, senza descriverli):

1. 4x - 8 + 3x = -8 - 4x + 8
   7x - 8 = 0 - 4x
2. 7x + 4x = +8 + 0
3. 11x = 8
4. x= 8/11

Facile, no?

Provate a fare altri esercizi, prendendo spunto dagli esempi e magari modificando i numeri, i segni e le potenze.

Considerazioni e approfondimenti
Abbiamo visto la soluzione di alcune equazioni.
Possiamo ora notare che, dopo alcuni passaggi e calcoli, arriviamo ad una forma dell'equazione descritta nei punti 3 e 4 del nostro schema, come ad esempio l'ultima risolta:

• 11x = 8

Generalizzando, possiamo pensare al numero "11" (il coefficiente che moltiplica l'incognita) come ad una "a", mentre il valore a destra dell'uguale come ad una "b".

In tal caso avremo:

• ax = b

e può anche essere scritta come

• ax - b = 0

che viene chiamata equazione di primo grado ridotta a forma normale.
La si può anche trovare sotto questa forma: P(x) = 0, ossia un polinomio uguale a zero.

Ci sono alcuni casi che si possono trovare in questa formula

• se a ≠ 0 (a diverso da zero), allora esiste un'unica soluzione di x, cioè (b/a)
• se a = 0 (a uguale a zero), allora possiamo avere due ulteriori casi:
  
  1) se b ≠ 0 l'equazione non ammette soluzione
  (infatti avremmo, da ax = b, che 0 = b con "b" diverso da zero: cioè, impossibile)
  
  2) se b = 0 l'equazione può avere infinite soluzioni
  (infatti, con ax = b che diventa 0x = 0, possiamo far assumere a x qualsiasi valore e il risultato sarà sempre lo stesso; che x sia pari a 1 oppure 9999, l'equazione è sempre valida, perché qualsiasi numero moltiplicato per zero dà zero)

Dopodiché, se volete passare ad un livello più difficile, leggete la pagina sulle disequazioni, con il segno ">" e "<".