Frazioni, spiegazione. Come si semplificano? (Matematica)

Tempo fa, parlando di numeri, abbiamo visto che possono essere reali, interi e razionali. Di questi ultimi vorrei dare qualche informazione in più; in particolare, le frazioni, che fanno appunto parte dei numeri razionali ("razione", "porzione").

Proviamo a imparare le frazioni con una spiegazione semplice, adatta anche ai bambini.

Che cos'è una frazione?

A volte può capitare di dover misurare una quantità in modo particolare, cioè non usando i numeri interi (come 1, 2, 3, 4,... e così via) ma solo una parte di questi numeri.

Ad esempio, prendiamo la classica torta di compleanno da tagliare a fette. La torta è una, quindi la indichiamo con il numero 1, finché è intera. Però, una volta tagliata a fette e mangiate alcune di queste, non sarà più una torta intera e non potremo più indicarla con il numero 1. In questo caso ci vengono in aiuto le frazioni, che ci permettono di misurare una parte di un numero intero.

Dividiamo la torta in 10 fette. Durante la festa vengono mangiate 7 fette, quindi ne rimangono 3.
Come possiamo definire tali quantità?
Il totale è 10 fette, la parte che viene mangiata sarà uguale a 7/10 ("sette fratto dieci" o "sette decimi"), mentre la parte rimasta sarà uguale a 3/10 ("tre fratto dieci" o "tre decimi").

In pratica la torta, che era un numero 1 finché era intera, l'abbiamo trasformata in un gruppo di 10 fette, in modo da poter poi usare le frazioni per calcolarne le quantità.

Proviamo anche con un esempio grafico. Ipotizziamo che la nostra torta sia di 16 fette e che ne vengano mangiate 4.

Frazioni - Esempio della torta

Quindi avremo la porzione di torta mangiata pari a 4/16 ("quattro sedicesimi"), mentre quella avanzata pari a 12/16 ("dodici sedicesimi").

La frazione è solo una divisione tra due numeri, è il loro quoziente. A volte, però, per le operazioni, non è comodo risolvere la divisione, ma è più semplice lasciare le frazioni e risolvere utilizzando alcune regole che presto scopriremo.

Frazioni, schema

Graficamente si presenta con una barra orizzontale (Linea di frazione) che separa il numero che si trova sopra di essa (Numeratore) e il numero di sotto (Denominatore).

Ecco qui:

In questo caso abbiamo un "numero razionale" come risultato, con la virgola (0,6666...., cioè due diviso tre, 2 : 3), che non può quindi essere considerato come "numero intero".

Una prima regola importante delle frazioni riguarda il denominatore, il numero sotto la linea di frazione: deve essere diverso da zero ( ≠ 0).
Infatti 2 / 0 (due fratto zero, a volte per comodità possiamo usare questa la linea di frazione "/") non avrebbe senso, perché nessun numero moltiplicato per zero mi darebbe poi il due (facendo il calcolo inverso).

Perciò, nessuna frazione avrà mai un denominatore uguale a zero.

Differenza tra frazioni proprie, improprie e apparenti

Possiamo già fare una prima distinzione tra le frazioni, a seconda della grandezza dei numeri:

• Frazione propria: il numeratore è più piccolo del denominatore
• Frazione impropria: il numeratore è più grande del denominatore
• Frazione apparente: il numeratore è un multiplo del denominatore

Esempi:

• Frazione propria: 2 / 3
• Frazione impropria: 4 / 3
• Frazione apparente: 4 / 2

L'ultima frazione, in effetti, è apparente, perché si può subito risolvere facendo 4:2, che dà come risultato 2.

Come si semplificano, si calcolano le frazioni?

Un'operazione molto importante, in matematica, è quella della semplificazione delle frazioni.
Semplificandole le rendiamo più facili da capire e più semplici da scrivere, ricordare e riportare in espressioni più complicate.

E come si semplificano?

Le semplificazioni, che ora impareremo, sono possibili grazie ad una regola, la proprietà invariantiva, che ci dice:

moltiplicando o dividendo, in una frazione, sia il numeratore che il denominatore per uno stesso numero (diverso da zero), il risultato non cambia

Esempio:

• (1 / 3) è uguale a (10 / 30), perché abbiamo moltiplicato numeratore e denominatore per uno stesso numero, cioè 10.

Altro esempio:

• (2 / 8) è uguale a (1 / 4), perché abbiamo diviso numeratore e denominatore per 2.

Quindi, prima di tutto cerchiamo di capire se, sia il numeratore che il denominatore sono divisibili per uno stesso numero.

Vediamo qualche esercizio:

• 2 / 4
  tutti e due sono divisibili per 2
  (2 : 2 = 1) e (4 : 2 = 2)
  quindi possiamo riscrivere la frazione in questo modo: 1 / 2
• 3 / 9
  numeratore e denominatore divisibili per 3
  (3 : 3 = 1) e (9 : 3 = 3)
  quindi, semplificando, abbiamo: 1 / 3
• 15 / 45
  divisibili per 5
  (15 : 5 = 3) e ( 45 : 5 = 9)
  perciò: 3 / 9 .... ma, attenzione, in questo caso possiamo continuare con la semplificazione (rileggi il 2° esempio visto prima) ed arrivare alla semplificazione: 1 / 3

Nel terzo caso avremmo avuto lo stesso risultato dividendo subito, sia numeratore che denominatore, per 15.

Semplificazione di frazioni

Come vedete, è più semplice scrivere (1 / 3) che (15 / 45).

Quando però le frazioni diventano un po' più complicate, con numeri grandi, possiamo utilizzare il metodo del Massimo Comune Divisore (segui il link in blu per leggere la spiegazione).

Ad esempio, per la frazione 48 / 80, calcoliamo il Massimo Comune Divisore di 48 e 80, che è 16.
Dopodiché dividiamo sia 48 che 80 per 16 ed otteniamo 3 e 5. Quindi, riassumendo:

• 48 / 80
  dato che sono entrambi divisibili per 16
  (48 : 16 = 3) e (80 : 16 = 5)
  alla fine, semplificando, abbiamo: 3 / 5

Anche qui diventa più facile scrivere 3/5, anziché 48/80.

Ed il risultato è uguale!

Cosa volete di più dalla vita?  (= ^_^ =)

Approfondimenti, argomenti simili

Nel prossimo capitolo, dal titolo "Cosa sono le frazioni equivalenti? Definizioni ed esempi", potrai scoprire qualcosa di più sull'argomento. Mentre, leggendo Confronto tra frazioni, imparerai a trovare la frazione maggiore (più grande) e quella minore (più piccola). Dopodiché potrai passare a Calcolare la frazione di un numero. Infine le Operazioni con frazioni: addizione e sottrazione (con lo stesso denominatore e con denominatore diverso).