Come risolvere le espressioni aritmetiche. Esempi

Matematica. Cerchiamo di capire cosa siano le "espressioni aritmetiche" con una spiegazione semplice e il metodo per risolverle. Troverete utili alcuni esercizi svolti.

Innanzitutto, cosa sono?
Le espressioni aritmetiche sono formate da un insieme di numeri (0, 1, 2, 3,....), simboli di operazioni (+, -, x, : , ..) e parentesi che possono essere di tre tipi (tonda, quadra, graffa).

Si presentano con numeri alternati ai diversi operatori aritmetici (i simboli +, -, x, :).
Le operazioni potrebbero trovarsi all'interno delle parentesi. Il trucco è quello di calcolare un'operazione per volta, seguendo alcune regole.

Esempio semplice: 5 - 3 + 2 + 6 - 4

Questa è facile, perché non ci sono né parentesi, né operazioni come moltiplicazione o divisione.
Sottraendo e sommando, abbiamo che:

• 5 - 3 + 2 + 6 - 4
  cinque meno tre dà due
• 2 + 2 + 6 - 4
  più due uguale a quattro
• 4 + 6 - 4
  più sei uguale a dieci
• 10 - 4
  meno quattro uguale a sei.

Il risultato finale, quindi --> 5 - 3 + 2 + 6 - 4 = 6 (viene anche definita come "uguaglianza").

Basta eseguire un'operazione per volta e il risultato calcolarlo con l'operazione successiva.

Perché si utilizzano le parentesi?

Le parentesi servono per creare un ordine in cui si devono risolvere le singole operazioni. Ad esempio, in presenza di tutti e tre i tipi di parentesi "( )", "[ ]" e "{ }", si dovrà risolvere prima la parentesi tonda, poi la quadra e infine la graffa.

Esempio: { 2 + [3 - (1+2)]}

• { 2 + [3 - (1+2)]}
  prima la parentesi tonda
• { 2 + [3 - 3]}
  poi la parentesi quadra
• { 2 + 0} = 2
  infine la parentesi graffa

Perciò, { 2 + [3 - (1+2)]} = 2

Esiste un ordine anche per i segni delle operazioni. Prima si calcolano le potenze (se ci sono), poi le moltiplicazioni e le divisioni, dopodiché le somme e le sottrazioni.

Esempio: 5x5 - 6 + 8:2

• 5x5 - 6 + 8:2
  prima la moltiplicazione e la divisione
• 25 - 6 + 4 = 19 + 4 = 23
  poi le somme e le sottrazioni

Esempio più difficile

Un'espressione con parentesi e i vari segni di operazione potrebbe essere come questa:

 { 5 + [4x4 - (6:2) + 3] -2}

Nell'esempio qui in alto, si dovrebbe risolvere in questo ordine (in rosso l'operazione da fare per prima):

• { 5 + [4x4 - (6:2) + 3] -2}
  partiamo dalla parentesi tonda, sei diviso due è uguale a tre:
• { 5 + [4x4 - 3 + 3] -2}
  come spiegato prima, risolviamo prima le moltiplicazioni (o prodotti) e poi le somme e le sottrazioni; quindi abbiamo che quattro per quattro è uguale a sedici:
• { 5 + [16 - 3 + 3] -2}
  ora risolviamo la parentesi quadra, ossia sedici più tre meno tre, che è uguale a sedici (perché sommando e sottraendo tre si ha zero):
• { 5 + 16 -2}
  ora siamo giunti alla fine e possiamo risolvere la parentesi graffa, cioè cinque più sedici meno 2, che è uguale a diciannove:
• 19

Concludendo, otteniamo questo risultato dall'espressione aritmetica:
{ 5 + [4x4 - (6:2) + 3] -2} = 19

Se trovate espressioni aritmetiche con tutti simboli di moltiplicazione ("x") e divisione (":") si dovrà procedere calcolando in ordine, dalla prima, poi la seconda, e così via.

Esempio: 5x4:2x3:15

Risolviamo in ordine:

• 5x4:2x3:15
• 20:2x3:15
• 10x3:15
• 30:15 = 2

Basta ricordarsi di risolvere tutte le operazioni in ordine: prima le parentesi tonde e, all'interno di queste, se ci sono più segni di operazioni, risolvere prima le moltiplicazioni e le divisioni, poi le somme e le sottrazioni.
Dopodiché, risolta la parentesi tonda, si eliminano le parentesi tonde e si scrive il risultato.
Questo risultato si potrebbe trovare all'interno di un'altra parentesi, magari quadra.
Si risolve seguendo il solito ordine e si eliminano le parentesi quadre. Stessa cosa per le parentesi graffe.

Potresti trovare utile leggere le pagine

• Risolvere espressioni matematiche con frazioni. Esercizi svolti
• Proprietà delle operazioni matematiche.

Alcune regole sulle espressioni aritmetiche

Per somme e moltiplicazioni si può procedere in qualsiasi ordine:

• 5 + 4 + 3 dà lo stesso risultato se risolviamo prima il 5+4 (=9) oppure il 4+3 (=7). Il totale dà sempre 12!
• 5 x 4 x 3 dà lo stesso risultato, se risolviamo prima il 5x4 (=20) oppure il 4x3 (=12). Dà sempre 60, perché nel primo caso avremmo 20 x 3 (=60), mentre nel secondo 12 x 5 (=60).

Per differenze e divisioni si deve sempre seguire l'ordine, da sinistra a destra, altrimenti il risultato sarà sbagliato:

• 8 - 4 - 2 è uguale a 4 - 2, cioè 2. Ma se risolviamo prima il "4-2", alla fine avremmo "8-2" uguale a 6 (sbagliato!). Partire sempre dal primo e poi andare in ordine, un'operazione per volta
• 8 : 4 : 2 è uguale a 4 : 2, cioè 2. Ma se risolviamo prima il "4:2", alla fine avremmo "8:2" uguale a 4 (sbagliato!). Partire sempre dal primo e poi andare in ordine, un'operazione per volta

Espressioni aritmetiche con potenze

Prima di proseguire, se vuoi, dai prima un'occhiata alla pagina "Come si calcolano le potenze".

In questo caso restano valide tutte le regole finora elencate, ma, in presenza di una potenza, si deve dare la precedenza a questa, risolvendola prima di tutte le altre operazioni, prima anche delle moltiplicazioni e delle divisioni.

 
Esempio: [4 x (3² : 3)]

• [4 x (3² : 3)]
  prima risolviamo la potenza, tre elevato alla seconda è uguale a nove (cioè, tre per tre)
• [4 x (9 : 3)]
  poi passiamo alla divisione e abbiamo che nove diviso tre è uguale a tre
• [4 x 3] = 4 x 3 = 12
  infine quattro per tre è uguale a dodici

Alla pagina "Cosa sono le equazioni" troverete la spiegazione di un argomento un po' più difficile.