Numeri reali, cosa sono. Interi relativi e razionali

La matematica è davvero immensa, e comprende tantissime regole, definizioni e formule.
Partendo dalla base, una delle prime domande che potrebbe venire in mente è la seguente:

Cosa sono i numeri reali?
Che differenza c'è tra numeri interi (o relativi) e numeri razionali? 

Qui si deve partire dall'inizio, per dare una spiegazione semplice all'argomento.

Numeri interi relativi, naturali e negativi

I numeri li conosciamo tutti, sono quelli che utilizziamo per contare, fare calcoli, leggere l'orario, sapere la data, il proprio anno di nascita, eccetera. Sono i classici rappresentati con i simboli 1, 2, 3, 4, .. ,9. Questa, infatti, è la forma più semplice, la più conosciuta.

Sono i numeri interi relativi (indicati con la lettera Z), che, a loro volta, si dividono in numeri naturali (interi e positivi: 1, 2, 3.., indicati in matematica con la lettera N) e in numeri interi negativi (-1, -2, -3,...), cioè quelli che si trovano sotto lo zero.

Se dovessimo rappresentarli lungo una retta, avremmo questo tipo di schema:

Numeri razionali

Quando invece abbiamo delle frazioni, che poi generano numeri con la virgola (ma anche interi, come vedremo in seguito), composti da decimali, centesimi, millesimi, come ad esempio (3,5) oppure (7,85) o, ancora, (256,999), ecco che abbiamo a che fare con i numeri razionali (indicati con la lettera Q).

[leggi anche "Numeri decimali, spiegazione"]

I numeri con le frazioni sono rappresentati con una barra orizzontale che divide il numeratore (il numero che sta sopra) dal denominatore (il numero che sta sotto).

Ecco un esempio di frazione:

2 / 3 scritto anche come:

Si dice razionale perché il risultato dà una "razione" di un numero. Ad esempio, 1/2 (un mezzo) restituisce come risultato 0,5, ossia la metà di uno, una razione.

Così come quando diciamo "mancano tre quarti d'ora", cioè 45 minuti, ossia 3/4 di 1 ora.
Possiamo definirli anche così: abbiamo una torta da dividere in quattro porzioni uguali; di queste ne prendiamo tre, lasciandone una. Ecco che abbiamo i nostri 3/4 (tre porzioni di quattro porzioni totali).

Quindi abbiamo i numeri interi (relativi) e i numeri razionali.

Ma se provassimo a definire un numero, con frazione, del tipo 20 / 5, sarebbe corretto dire che è un numero razionale? Risolvendo la frazione 20 / 5, cioè 20 : 5 (venti diviso cinque), otteniamo 4. Ma 4 è un numero intero. Quindi?

Diciamo che in questo caso 20/5 si trova sia nell'insieme dei numeri interi che in quello dei numeri razionali, questo perché l'insieme dei numeri interi è interno (e più piccolo) all'insieme dei numeri razionali.

Quindi tutti i numeri interi possono essere razionali ma non tutti i razionali possono essere interi.

Questa distinzione si può meglio capire osservando il seguente disegno:

Insieme N (naturali) dentro l'insieme Z (interi), e Z dentro l'insieme Q (razionali)

L'insieme Q comprende l'insieme Z e Z include l'insieme N.

[leggi anche "Come si calcola il Massimo Comune Divisore"]

Se prendessimo qualsiasi numero intero e decidessimo di trasformarlo in razionale, sarebbe un gioco da ragazzi.

Ad esempio, 10. Lo possiamo scrivere come (20 / 2), perché (20 : 2 = 10).
Stessa cosa con 6, che si potrebbe presentare anche come (18 / 3), perché diciotto diviso tre dà sei come risultato.

[Per approfondire leggi: Cosa sono le frazioni? Come si semplificano?]

Ora, arrivati a questo punto, cosa ci manca?

Esistono altre due tipologie:

• i numeri irrazionali algebrici (pensiamo alla radice quadrata di 2) 
• i numeri trascendenti (numeri irrazionali ma non algebrici, non vengono calcolati ma hanno un valore proprio; vengono spesso utilizzati nelle formule; possono essere π, ossia il famoso Pi greco, oppure "e", ad esempio).

Adesso possiamo rispondere alla domanda: cosa sono i numeri reali?

I numeri reali, rappresentati dalla lettera R, sono formati dai numeri interi, i numeri razionali, quelli irrazionali algebrici e i numeri trascendenti. Si tratta dell'insieme più grande, che include tutti gli altri numeri in questa pagina spiegati.

Cos'è il modulo (valore assoluto) di un numero relativo?

Definizione: si dice modulo, o valore assoluto, di un numero relativo n, il numero (aritmetico) che si ottiene eliminando il segno di n.
Quindi, il modulo di |-3| e |+3| è semplicemente "3".
Così come, il modulo di |-16| e |+16| è semplicemente "16".
In pratica si elimina il segno.