Massimo Comune Divisore, come si calcola? Esercizi

Vediamo di capire, con una spiegazione semplice, un tipo di calcolo matematico richiesto in numerosi problemi posti a scuola dall'insegnante di matematica. Stiamo parlando del famoso Massimo Comune Divisore o, più brevemente, MCD.

Come si fa, come si calcola?

Massimo Comune Divisore (MCD). Spiegazione con esempi

Iniziamo a spiegare che cosa sia, l'MCD. Si tratta di un numero che deve avere determinate caratteristiche, in relazione ad altri numeri noti. Già dal nome dovremmo capirlo: il maggiore, il più grande tra i divisori in comune. Nello specifico, i numeri dati devono essere multipli del numero calcolato.

Sicuramente, con qualche esempio, esercizio, tutto sarà più chiaro.

Primo esempio

Se il professore ci chiede di calcolare il Massimo Comun Divisore dei numeri 10 e 15, cosa possiamo rispondere? Allora, 10 e 15 sono i numeri noti, dati, cioè rappresentano le informazioni che abbiamo e dalle quali partiamo per il calcolo.

Per trovare l'MCD di 10 e 15 dobbiamo trovare un altro numero che, moltiplicato per 1, 2, 3 ecc... possa "raggiungere" prima il numero 10 e poi il numero 15.

La prima osservazione che ci viene in mente è che l'MCD sarà sicuramente più piccolo dei numeri noti, quindi sarà minore di 10, questo è certo.

Proviamo con 9. I multipli di 9 sono:
9 (risultato di nove per uno), 18 (risultato di nove per due), ... e qui ci fermiamo perché già il 18 ha superato il nostro 15 e il nostro 10, senza trovare una corrispondenza.
Nessun multiplo di 9 è uguale a 10 o a 15. Quindi lo scartiamo.

Con l'8, calcolando i multipli, abbiamo: 8, 16, 24.... ma niente 10 e niente 15. Perciò non ci interessa.

Stessa cosa con il 7 (7, 14, 21...) e con il 6 (6, 12, 18...).

Che ne dite, allora, del 5?
I multipli di 5 sono: 5, 10, 15.. grande! Li abbiamo trovati tutti e due. Ma questo cosa significa?
Vuol dire che, sia il 10 che il 15 sono divisibili per 5, e quindi:

il Massimo Comune Divisore di 10 e 15 è 5.

Proviamo in un altro modo, con gli stessi numeri noti, giusto per capire cosa stiamo facendo.
Elenchiamo tutti i numeri per i quali il 10 e il 15 sono divisibili:

• il 10 è divisibile per = 1, 2, 5, 10
• il 15 è divisibile per = 1, 3, 5, 15

Qual è il numero che hanno in comune? Qual è in pratica il Massimo tra i Comuni Divisori?
Il 5.

Definizione di Massimo Comun Divisore 
Il Massimo Comun Divisore di due o più numeri è il maggiore fra i loro divisori comuni.

Esempio più difficile

Nell'esempio appena indicato, però, avevamo solo un comune divisore (escludendo l'1 che è l'unico numero per il quale tutti gli altri sono divisibili), quindi era ovvio scegliere quel numero. Vediamo invece un altro caso, in cui i Comuni Divisori sono di più e noi dobbiamo scegliere il nostro Massimo.

Dobbiamo calcolare l'MCD dei numeri noti 20 e 30.

Iniziamo con il metodo dell'elenco numeri divisori per ciascun numero:

• il 20 è divisibile per = 1, 2, 4, 5, 10, 20
• il 30 è divisibile per = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

Analizzando le due serie di numeri ci accorgiamo che i Comuni Divisori (i numeri in comune) sono più di uno, cioè: 1, 2, 5, 10. Questi numeri si trovano sia nella riga del 20 che nella riga del 30.

Ma a noi ne serve uno, quale scegliamo?

Ovviamente il Massimo, perché cerchiamo il Massimo Comune Divisore. Quindi: il 10.

L'MCD di 20 e 30 è 10.

M.C.D., scomposizione in fattori primi

Si utilizza per numeri complessi

Quando i numeri sono un po' più grandi risulta difficile elencare tutti i divisori, perciò si cerca di scomporre entrambi i numeri in fattori primi, cioè in numeri primi (1, 2, 3, 5, 7, 11....).

Nel nostro esempio, con 20 e 30, avremo:

• 20 = (2 per 10) = (2 x 2 x 5) = (2² x 5)
• 30 = (2 per 15) = (2 x 3 x 5) = (2 x 3 x 5)

Si prendono i numeri primi comuni con esponente più basso. Nel nostro caso: il 2 e il 5

Dopodiché si moltiplicano, uno con l'altro (2 x 5), e otteniamo così, di nuovo, il nostro 10, che è il Massimo Comune Divisore.

Esempio più complicato

Risolvere questo problema: MCD (120, 250)

Scomponiamo in fattori primi:

• 120 = (5 x 24) = (5 x 3 x 8) = (5 x 3 x 2 x 2 x 2) = (5 x 3 x 2³)
• 250 = (5 x 50) = (5 x 5 x 10) = (5 x 5 x 5 x 2) = (5³ x 2)

Ora non ci rimane che individuare i Comuni Divisori con esponente più basso, cioè 2 e 5, il cui prodotto dà 10. Quindi:

• MCD (120, 250) = 10

E così via, si calcola il Massimo Comune Divisore per tutte le coppie di numeri.

Come si scrive in formula

Il Massimo Comune Divisore si scrive solitamente in questo modo:

• MCD (a, b) = c

Nel penultimo esempio avremmo avuto: MCD (20, 30) = 10.

M.C.D., calcolo alternativo: Metodo delle divisioni successive

Regola:

Per trovare il MCD di due numeri, si divide il maggiore per il minore, il minore per il resto ottenuto, il primo resto per il nuovo resto e così di seguito finché si ottiene per resto zero.

L'ultimo divisore (diverso da zero) è il MCD dei due numeri dati.

Esercizio
Trovare il M. C. D. di 176 e 112:

• Prima divisione:
  176 : 112 = 1 con resto 64
• Seconda divisione:
  112 : 64 =1 con resto 48
• 64 : 48 = 1 con resto 16
• 48 : 16 = 3 con resto 0

Quindi, dato che l'ultimo divisore, prima dello zero, è 16, il Massimo Comun Divisore dei numeri 176 e 112 è appunto 16.

• MCD (176, 112) = 16

Anche questo metodo non è male, vero? Scegliete voi quello che più vi rende facile il compito.

Massimo Comun Divisore di più numeri

Per calcolare questo particolare caso di MCD adotteremo la seguente regola:

Per trovare il M.C.D. di più di due numeri, si trova prima il MCD dei primi due, poi si trova il MCD del numero trovato e del terzo, dopodiché il MCD del nuovo numero e del quarto... e così via fino a quando si esauriscono i numeri dati. L'ultimo MCD trovato è il MCD dei numeri dati.

Esempio, esercizio svolto
Trovare il M.C.D. di 980, 392, 280, 126

• Iniziamo con i primi due (980 e 392)
  980 diviso 392 è uguale a 2 con resto 196
  392 diviso 196 è uguale a 2 con resto 0
  quindi MCD (980, 392) = 196
• Passiamo al calcolo MCD tra il terzo dato (280) e il nuovo numero ottenuto (196)
  280 diviso 196 = 1 con resto 84
  196 diviso 84 = 2 con resto 28
  84 diviso 28 = 3 con resto 0
  quindi MCD (280, 196) = 28
• Ora il MCD di 126 (quarto e ultimo numero dato) e 28 (numero nuovo appena calcolato
  126 diviso 28 = 4 con resto 14
  28 diviso 14 = 2 con resto 0
  quindi MCD (126, 28) = 14

Finiti tutti i calcoli con i numeri dati, e seguendo quanto dice la regola, abbiamo che il risultato finale, ossia il Massimo Comun Divisore di 980, 392, 280, 126 è 14
In sintesi: MCD (980, 392, 280, 126) = 14.

Nota bene: nel nostro esercizio i numeri dati sono stati calcolati seguendo l'ordine decrescente, dal più grande al più piccolo, ma questo non è indispensabile; anzi, mettendoli al contrario, in ordine crescente dal più piccolo al più grande, forse si potrebbe arrivare prima alla soluzione. Provate i due casi, per curiosità.

Nello schema i due metodi di calcolo MCD

Altri esercizi per imparare meglio il MCD

Esercizio 1 (facile)
Trova l’MCD di 8 e 12 usando i divisori.

Soluzione:

• Divisori di 8: 1, 2, 4, 8
• Divisori di 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
• Divisori comuni: 1, 2, 4

-- > MCD = 4

Esercizio 2 (medio)
Trova l’MCD di 18 e 30 usando la scomposizione in fattori primi.

Soluzione:

• 18 = 2 × 3²
• 30 = 2 × 3 × 5

Fattori comuni: 2 e 3
-- > MCD = 2 × 3 = 6

Esercizio 3 (con contesto reale)
Hai due nastri lunghi 48 cm e 60 cm. Vuoi tagliarli in pezzi tutti uguali, della massima lunghezza possibile, senza avanzi. Quanto saranno lunghi i pezzi?

Soluzione:

MCD (48, 60):

• 48 = 2⁴ × 3
• 60 = 2² × 3 × 5

Fattori comuni: 2² × 3 = 12
-- > Ogni pezzo sarà lungo 12 cm.

"Trucchi" per calcolare il MCD di più numeri

• Se avete numeri dati (noti) che tra loro sono multipli uno dell'altro, non dovrete calcolare il Massimo Comun Divisore di tutti i numeri ma solo di quelli più bassi tra i multipli.
  Ad esempio, con i numeri 45, 60, 90, 12 basterà calcolare il MCD solo di 45 e 12, dato che il 60 è multiplo di 12 e il 90 è multiplo di 45. Così diventa tutto più facile e veloce!
• Se il più piccolo dei numeri dati è divisore di tutti gli altri, allora esso è il MCD di tutti i numeri.
  Ad esempio, MCD (81, 63, 36, 18, 9) = 9 (dato che tutti gli altri numero sono divisibili per 9
• MCD × m.c.m. = Prodotto dei numeri
  Esempio con 12 e 18:
  MCD = 6
  m.c.m. = 36
  6 × 36 = 216 che è uguale a 12 × 18

A cosa serve il Massimo Comune Divisore

Viene utilizzato per rendere più semplici i calcoli delle frazioni (per approfondire questo argomento prova a leggere: Cosa sono le frazioni? Come si semplificano?).

Il MCD non è solo un argomento di matematica astratta! Serve in molte situazioni pratiche, come:

• Tagliare materiali senza sprechi (es. rotoli di stoffa, cavi elettrici, nastri, tubi..)
• Organizzare eventi o turni che si ripetono in cicli (es. ogni 6 giorni e ogni 8 giorni -- > ogni quanto si sovrappongono?)
• Dividere qualcosa in parti uguali: Se hai 36 biscotti e 24 caramelle e vuoi fare sacchetti tutti uguali con lo stesso numero di ciascuno, quante confezioni puoi preparare?
  Calcoliamo l’MCD di 36 e 24:
  36 = 2² × 3²
  24 = 2³ × 3
  MCD = 2² × 3 = 12
  Puoi fare 12 sacchetti uguali.

Riprendendo un esempio visto in precedenza, potremmo scrivere che:

perché, grazie all'MCD (che è 10), sia il 20 che il 30 di possono dividere per lo stesso numero (10), portando ad una comoda semplificazione (20 diviso 10 dà 2 e 30 diviso 10 dà 3), cioè 2/3.

Per capire questo passaggio si deve ricordare che in una frazione, moltiplicando o dividendo, sia il dividendo (il numero che sta sopra la barra di frazione, nell'esempio: 20) che il divisore (il numero che sta sotto la barra di frazione, nell'esempio: 30) per uno stesso numero (nell'esempio: 10), il risultato finale non cambia.

Ora che hai capito il M.C.D., potresti passare al Minimo Comune Multiplo, con una spiegazione semplice ed esercizi.

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