Logaritmi, come si calcolano? Definizione, proprietà ed esercizi

Vediamo di spiegare in modo semplice la definizione di Logaritmo e come si calcola.

Il logaritmo, in matematica, ci permette di trovare il valore dell'esponente necessario ad un determinato numero, di base, per avere come risultato un dato valore.

In pratica, se noi conosciamo la base, ad esempio 10, e il risultato finale, ad esempio 100, il logaritmo in base di 10 di 100 sarà pari a 2, ossia l'esponente che permette al nostro 10 di arrivare a 100 (10², cioè 10 per 10).

Ancora un esempio pratico, un po' più complicato. Se la nostra base è 5, quale sarà il logaritmo di 125? Quale esponente permette al nostro 5 di arrivare al numero 125? Vediamo subito che 125 non è altro che il prodotto di 5 moltiplicato per 5 moltiplicato per 5, ossia 5 elevato alla terza potenza (5³).

[Se non ricordi le potenze, prova a leggere "Come si calcolano le potenze"]

Quindi l'obiettivo del logaritmo è appunto trovare l'esponente giusto. 

Formula e definizione del logaritmo

Di seguito proviamo a spiegarlo in formule, con la classica definizione:

Dati a e b appartenenti a R (a, b ∈ R), ossia l'insieme dei "numeri reali", ponendo:

• a > 0 ; a ≠ 1
• b > 0

Se aˣ = b, viene definito logaritmo di "b" in base "a", il numero "x" da dare come esponente ad "a" per ottenere "b".

[ x = log_a (b) ]

dove,

• a è la base del logaritmo
• b è l'argomento del logaritmo
• x è il logaritmo in base a di b

Il valore "a", ossia la base del logaritmo, dev'essere necessariamente maggiore di zero e diverso da uno, questo perché, nel primo caso, se avessimo "a=0", non potremmo trovare un esponente per lo zero, perché zero moltiplicato per se stesso dà sempre zero.

Se anche "b" fosse pari a zero, non avrebbe senso calcolare il logaritmo (anche se diversi testi riportano come risultato di zero elevato a zero l'uno, ma a noi in questo momento non interessa, quindi diamo per scontato che b>0).

Se invece avessimo una base negativa, ad esempio "-2", quale sarebbe il logaritmo di 3?

 
Dovremmo risolvere log _-2 (3) = x, ossia trovare un numero che permetta al "-2" di dare come risultato il "3": non è possibile all'interno dei numeri reali, e come abbiamo scritto all'inizio, a e b appartengono ad R, l'insieme dei numeri reali. Sui numeri reali è possibile elevare a potenza solo con base positiva.

[Potrebbe interessarti leggere "Numeri reali, interi e razionali"]

Esempi, esercizi sui logaritmi

• log₃ 27 = 3 -- > (infatti, 3³ = 27)
• log₂ 8 = 3 -- > (infatti, 2³ = 8)
• log₁₀ 100 = 2 -- > (infatti, 10² = 100)
• log₅ 625 = 4 -- > (infatti, 5⁴ = 625)

Si deve sempre trovare quell'esponente che permetta alla nostra base di dare come risultato il nostro argomento.

Curiosità sui logaritmi

In una puntata di Superquark, il noto programma di divulgazione scientifica condotto da Piero Angela, si è parlato di una nuova formula per calcolare l'età dei cani.
Non più moltiplicando per 7 gli anni "umani" trascorsi dalla nascita del cucciolo, ma risolvendo la formula:

• [Ln (età del cane)] x 16 + 31
  Se il cane ha 3 anni (nostri), si fa il logaritmo naturale di 3 che fa circa 1,1, poi si moltiplica per 16 ottenendo 17,6, quindi si somma 31 e si ottiene l'età reale, in questo caso: 48 e mezzo circa.

Proprietà dei logaritmi, con esercizi

• log_a 1 = 0 (infatti, aº = 1)
  ----> logaritmo in base a di uno è uguale a zero
  
  ESEMPI:
  1) log₁₂ 1 = 0 (infatti, 12º = 1)
  2) log₅ 1 = 0 (infatti, 5º = 1)
• log_a a = 1 (infatti, a¹ = a)
  ----> logaritmo in base a di a è uguale a uno, questo vale tutte le volte che base=argomento
  
  ESEMPI:
  1) log₃ 3 = 1 (infatti, 3¹ = 3)
  2) log₅ 5 = 1 (infatti, 5¹ = 5)

Cerchiamo di capire una regola particolarmente utile:

• log_a (b·c) = log_a b + log_a c
  ----> logaritmo in base "a" di un prodotto (tra "b" e "c") è uguale alla somma dei logaritmi in base "a" dei due fattori "b" e "c"
  
  ESEMPIO:
  log₂ (32)
  lo possiamo scrivere come log₂ (4·8) poiché 4 per 8 è uguale a 32
  log₂ (4·8) =
  (log₂ 4) + (log₂ 8) =
  2 + 3 = 5
  (infatti, 2² = 4 e 2³ = 8)
  
  E tornando al nostro primo logaritmo log₂ (32) vediamo subito che il risultato (l'esponente che cercavamo) è proprio 5, poiché 2⁵ = 32

Questa proprietà sarà di aiuto quando avremo bisogno di scomporre l'argomento per semplificare il logaritmo. Quindi, ricordare che il logaritmo di un prodotto (moltiplicazione) è uguale alla somma dei logaritmi di ogni fattore presente nell'argomento del logaritmo. Anche con più fattori:

• log_a (b·c·d ...) = log_a b + log_a c + log_a d ....

Proviamo con altre proprietà, le frazioni nei logaritmi

• log_a (b/c) = log_a b - log_a c
  ----> logaritmo in base "a" di una frazione (tra "b" e "c") è uguale alla differenza tra il logaritmo in base "a" del numeratore ("b") e il logaritmo in base "a" del denominatore ("c") 
   
  ESEMPIO:
  log₂ (4)
  lo possiamo scrivere come log₂ (8/2) poiché 8 diviso 2 è uguale a 4
  log₂ (8/2) =
  (log₂ 8) - (log₂ 2) =
  3 - 1 = 2
  (infatti, 2³ = 8 e 2¹ = 2)
  
  Anche qui, tornando al primo logaritmo log₂ (4), vediamo che il risultato giusto (l'esponente che cercavamo) è 2, poiché 2² = 2.

Ora, procedendo sempre nei casi più difficili, affrontiamo un'altra proprietà.

Cosa succede quando troviamo una potenza (un numero con esponente) già nell'argomento del logaritmo?

Niente paura, iniziamo con la regola:

• log_a bⁿ = n·log_a b
  ----> Il logaritmo di un numero ("b") elevato ad "n" sarà uguale a "n" logaritmi di quel numero ("b")
  Cioè, "n" moltiplicato per il logaritmo in base "a" di "b"
  
  ESEMPI:

1. log₂ (2)³ =
   3·log₂ (2) 
   come sappiamo, il logaritmo con base=argomento dà come risultato "1", quindi risolvendo avremo:
   = 3·1 = 3
   
   e lo si poteva vedere anche dal primo passaggio, cioè log₂ (2)³, che è uguale a log₂ (8), cioè uguale a 3 (l'esponente da dare al 2 per aver l'8).
2. log₃ (27)⁴ =
   4·log₃ (27)
   = 4·3 = 12
   quindi "12" è l'esponente che serve alla base "3" per arrivare a (27)⁴ 
   
   riprendendo questo ultimo esempio, dal punto in cui avevamo 4·log₃ (27), potevamo ancora semplificare il logaritmo, sapendo che 27 = 3³, ottenendo così questa forma:
   
   4·log₃ (3)³ 
   Da qui, ripetendo la proprietà appena vista sulle potenze, possiamo spostare l'esponente "3" fuori dal logaritmo e utilizzarlo come moltiplicatore, insieme al 4, giungendo alla forma:
   
   (3·4)·log₃ (3) =
   = 12·log₃ (3) =
   = 12·1 = 12
   lo stesso risultato di prima.

Ultima proprietà che possiamo imparare ad utilizzare riguarda la radice quadrata all'interno di un logaritmo:

[Se non conosci le potenze, prova a leggere "Come si calcola la radice quadrata di un numero"]

1. log_a (ⁿ√b) = (1/n)·log_a (b) 
   
   ESEMPIO:
   log₂ (³√8) =
   (1/3)·log₂ (8) =
   (1/3)·(3) = 1
2. log_a (ⁿ√b^m) = (m/n)·log_a (b) 
   
   ESEMPIO:
   log₂ (²√8⁴) =
   (4/3)·log₂ (8) =
   (4/3)·(3) = 12/3 = 4

1. Nel primo caso l'indice del radicale ("n") viene spostato al di fuori del logaritmo e messo come denominatore in una frazione con numeratore pari a "1". L'argomento del logaritmo, in questo modo, perde la radice, lasciando solo il radicando ("b").

 
2. Nel secondo si procede esattamente come nel primo caso, con la sola differenza che, al posto del numeratore "1" mettiamo l'esponente ("m") del radicando ("b").